( 2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens
podem ser representadas pela função utilidade
. Esse consumidor possui renda
e se depara com os preços
. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
e
, como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) ( 0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) ( 0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
Passo 1
O enunciado é um problema de maximização de utilidade do tipo
sujeito a
com
e
. Para resolver, usamos o método de Lagrange (FOCs) e depois aplicamos o teorema envelope para relacionar o multiplicador com a utilidade marginal da renda.
Passo 2
Formamos a Lagrangiana
As condições de primeira ordem são
Da razão das duas primeiras obtém-se
Passo 3
Como a restrição orçamentária vale com igualdade,
e daí
Passo 4
A utilidade indireta
é
Passo 5
Pela definição, a utilidade marginal da renda é
Por outro lado, das FOCs temos
logo
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)