( 2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\ln x_{1}+\ln x_{2}\right)^{3}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\begin{gathered} \max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\ln x_{1}+\ln x_{2}\right)^{3} \\\ \text { sujeito a: } \\\ p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m \end{gathered}
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) ( 0,5 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

Passo 1

O enunciado é um problema de maximização de utilidade do tipo
\max_{x_1,x_2}\;u(x_1,x_2)=(\ln x_1+\ln x_2)^3
sujeito a
p_1x_1+p_2x_2\le m,
com m>0 e p_1,p_2>0. Para resolver, usamos o método de Lagrange (FOCs) e depois aplicamos o teorema envelope para relacionar o multiplicador com a utilidade marginal da renda.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda) =(\ln x_1+\ln x_2)^3-\lambda\bigl(p_1x_1+p_2x_2-m\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} =3(\ln x_1+\ln x_2)^2\frac1{x_1}-\lambda p_1=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} =3(\ln x_1+\ln x_2)^2\frac1{x_2}-\lambda p_2=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =-(p_1x_1+p_2x_2-m)=0.
Da razão das duas primeiras obtém-se
\frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2}\quad\Longrightarrow\quad x_2 =\frac{p_1}{p_2}\,x_1.

Passo 3

Como a restrição orçamentária vale com igualdade,
p_1x_1+p_2\Bigl(\frac{p_1}{p_2}x_1\Bigr)=m \;\Longrightarrow\;2p_1x_1=m \;\Longrightarrow\;x_1^*=\frac{m}{2p_1},
e daí
x_2^*=\frac{p_1}{p_2}x_1^*=\frac{m}{2p_2}.

Passo 4

A utilidade indireta V(p_1,p_2,m)=u(x_1^*,x_2^*) é
V(p_1,p_2,m) =\Bigl[\ln\bigl(\tfrac{m}{2p_1}\bigr) +\ln\bigl(\tfrac{m}{2p_2}\bigr)\Bigr]^3 =\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4\,p_1p_2}\bigr)\Bigr]^3.

Passo 5

Pela definição, a utilidade marginal da renda é
\frac{\partial V}{\partial m} =3\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4p_1p_2}\bigr)\Bigr]^2 \cdot\frac{2}{m} =\frac{6}{m}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4p_1p_2}\bigr)\Bigr]^2.
Por outro lado, das FOCs temos
\lambda =\frac{3(\ln x_1+\ln x_2)^2}{x_1\,p_1} \quad\text{em }x_1^*=\frac{m}{2p_1},
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\lambda =\frac{3\,s^2}{m/(2)} =\frac{6}{m}\,s^2 \quad\text{com }s=\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4p_1p_2}\bigr).
Portanto
\lambda =\frac{6}{m}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4p_1p_2}\bigr)\Bigr]^2 =\frac{\partial V}{\partial m}.

Resposta

(a)
x_1^*(p_1,p_2,m)=\frac{m}{2p_1}, \quad x_2^*(p_1,p_2,m)=\frac{m}{2p_2}.
(b)
V(p_1,p_2,m) =\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4\,p_1p_2}\bigr)\Bigr]^3.
(c)
\frac{\partial V}{\partial m} =\frac{6}{m}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{m^2}{4p_1p_2}\bigr)\Bigr]^2 \quad\text{e}\quad \lambda=\frac{\partial V}{\partial m}.

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