• Questão 1. Encontre a equação cartesiana do plano que contém as retas r_{1}: x=2 y-1, z=-2 y+3 e r_{2}: y=2 x-1, z=3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que contém as retas r_{1} e r_{2}. O conteúdo é geometria analítica no espaço: para resolver vamos
  1. escrever cada reta em forma paramétrica,
  2. extrair um ponto e um vetor diretor de cada uma,
  3. obter um vetor normal ao plano via produto vetorial,
  4. usar esse normal e um dos pontos para montar a equação cartesiana.

Passo 2

Parametrizamos as retas e identificamos pontos e vetores diretores.
Para r_{1} tomamos y=t, então
x=2t-1,\quad y=t,\quad z=-2t+3.
Para t=0 um ponto em r_{1} é
P_{1}=(-1,0,3),
e o vetor diretor é
\vec v_{1}=(2,1,-2).
Para r_{2} tomamos x=s, então
x=s,\quad y=2s-1,\quad z=3s-2.
Para s=0 um ponto em r_{2} é
P_{2}=(0,-1,-2),
e o vetor diretor é
\vec v_{2}=(1,2,3).

Passo 3

Como \vec v_{1} e \vec v_{2} não são paralelos, elas determinam um plano. O vetor normal ao plano é
\vec n = \vec v_{1}\times \vec v_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 1 & -2\\\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (1\cdot3 -(-2)\cdot2)\,\mathbf i - (2\cdot3 -(-2)\cdot1)\,\mathbf j + (2\cdot2 -1\cdot1)\,\mathbf k = (7,\,-8,\,3).

Passo 4

Usamos a forma cartesiana do plano com \vec n=(7,-8,3) e o ponto P_{1}=(-1,0,3):
7(x+1)-8(y-0)+3(z-3)=0.
Distribuindo e simplificando, chega-se a
7x-8y+3z-2=0.

Resposta

A equação cartesiana do plano é
7x - 8y + 3z - 2 = 0.

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