Questão 3. Qual é o volume de um prisma cuja base tem área 5, a base está no plano x+2 y+2 z=2 e o topo está no plano 2 x+4 y+4 z=10 ?

Passo 1

O enunciado dá um prisma cujas faces de base e topo são planos paralelos e cuja área da base é 5. O conteúdo que vamos usar é: para um prisma, o volume é
V = (\text{área da base}) \times (\text{altura}),á
onde a altura é a distância entre os dois planos.

Passo 2

Precisamos ver que os planos
x + 2y + 2z = 2 \quad\text{e}\quad 2x + 4y + 4z = 10
são paralelos. Note que o segundo tem coeficientes (2,4,4), que é exatamente o dobro de (1,2,2), vetor normal do primeiro plano. Logo, são paralelos.

Passo 3

Para usar a fórmula de distância entre planos na forma
a x + b y + c z = d_1 \quad\text{e}\quad a x + b y + c z = d_2,
é melhor escrever o segundo plano dividindo tudo por 2:
x + 2y + 2z = 5.

Passo 4

O vetor normal comum é \,(a,b,c) = (1,2,2). A altura h é
h = \frac{\bigl|d_2 - d_1\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} =\frac{\lvert 5 - 2\rvert}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} =\frac{3}{\sqrt{1 + 4 + 4}} =\frac{3}{3} =1.

Passo 5

Com área da base igual a 5 e altura h=1, o volume é
V = 5 \times 1 = 5.

Resposta

5

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