(1.5 pontos)Considere que uma distribuição de corrente gera em todo o espaço, com permeabilidade magnética
um vetor de campo magnético expresso em coordenadas cilíndricas, dado por:
em que I (Ampere) e a (metro) são parâmetro fixos.
c. ( 0.75 pontos) Determine o vetor densidade de corrente em um ponto qualquer do espaço.
c. ( 0.75 pontos) Determine o vetor densidade de corrente em um ponto qualquer do espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Magnetostática onde uma distribuição de corrente gera um campo magnético no espaço todo. O campo magnético está dado em coordenadas cilíndricas por:
Aqui, $ I $ é a corrente em ampères e $ a $ é uma constante com unidades de metro. Nosso objetivo é encontrar o vetor densidade de corrente $ \mathbf{J} $ em qualquer ponto do espaço. Para isso, vamos usar a relação entre o campo magnético $ \mathbf{H} $ e a densidade de corrente, que na magnetostática é dada pela equação de Maxwell:
Então, vamos calcular o rotor (ou curl) de $ \mathbf{H} $ nas coordenadas cilíndricas para encontrar $ \mathbf{J} $.
Passo 2
Primeiro, lembremos a fórmula do rotor em coordenadas cilíndricas $ (\rho, \phi, z) $:
No nosso caso, o campo $ \mathbf{H} $ só tem componente na direção $ \phi $, ou seja, $ H_\rho = 0 $ e $ H_z = 0 $. Então, simplificando a fórmula do rotor:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial (\rho H_\phi)}{\partial \rho} $. Sabemos que:
Então,
Derivando em relação a $ \rho $:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão do rotor:
Portanto, o vetor densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é:
Resposta
O vetor densidade de corrente em um ponto qualquer do espaço é: