(1.5 pontos)Considere que uma distribuição de corrente gera em todo o espaço, com permeabilidade magnética mu0 um vetor de campo magnético expresso em coordenadas cilíndricas, dado por:
H^square= ^I rho a^2 e^-(ea) aphi
em que I (Ampere) e a (metro) são parâmetro fixos.
c. ( 0.75 pontos) Determine o vetor densidade de corrente em um ponto qualquer do espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Magnetostática onde uma distribuição de corrente gera um campo magnético no espaço todo. O campo magnético está dado em coordenadas cilíndricas por:
H = I rho^2 e^-a , phi
Aqui, $ I $ é a corrente em ampères e $ a $ é uma constante com unidades de metro. Nosso objetivo é encontrar o vetor densidade de corrente $ \mathbf{J} $ em qualquer ponto do espaço. Para isso, vamos usar a relação entre o campo magnético $ \mathbf{H} $ e a densidade de corrente, que na magnetostática é dada pela equação de Maxwell:
I
Então, vamos calcular o rotor (ou curl) de $ \mathbf{H} $ nas coordenadas cilíndricas para encontrar $ \mathbf{J} $.

Passo 2

Primeiro, lembremos a fórmula do rotor em coordenadas cilíndricas $ (\rho, \phi, z) $:
(rho, phi, z)
No nosso caso, o campo $ \mathbf{H} $ só tem componente na direção $ \phi $, ou seja, $ H_\rho = 0 $ e $ H_z = 0 $. Então, simplificando a fórmula do rotor:
nabla times H = ( 1rho ( partial Hzpartial phi - partial (rho Hphi)partial z ) ) rho + ( partial Hrhopartial z - partial Hzpartial rho ) phi + 1rho ( partial (rho Hphi)partial rho - partial Hrhopartial phi ) z

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial (\rho H_\phi)}{\partial \rho} $. Sabemos que:
partial (rho Hphi)partial rho
Então,
Hphi = I rho^2 e^-a
Derivando em relação a $ \rho $:
rho Hphi = I rho^3 e^-a

Passo 4

Substituindo de volta na expressão do rotor:
nabla times H = 1rho cdot 3 I rho^2 e^-a z = 3 I rho e^-a z
Portanto, o vetor densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é:
J

Resposta

O vetor densidade de corrente em um ponto qualquer do espaço é:
J = 3 I rho e^-a , z

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