(3,0 pontos )
Considere o escoamento de Couette para o qual a placa em movimento é mantida a uma temperatura uniforme e a placa estacionária é isolada.
a) Determine a temperatura da placa isolada, representando seus resultados em termo das propriedades do fluido, temperatura e velocidade da placa móvel.
b) Obtenha uma expressão para o fluxo de calor para a placa móvel.
c) Desenhe o perfil de velocidade e temperatura no fluido.

Passo 1

Temos escoamento de Couette entre duas placas paralelas separadas por altura h. A placa superior (em y=h) move-se à velocidade U e é mantida à temperatura uniforme T_m. A placa inferior (em y=0) está estacionária e é termicamente isolada. Vamos usar o perfil de velocidade linear e a equação de energia em regime permanente incluindo dissipação viscosa para determinar a temperatura no fluido.

Passo 2

A equação de quantidade de movimento em escoamento unidimensional e sem pressão varia-

vel (neste caso Couette puro) leva a
\frac{d^2u}{dy^2}=0
com as condições de contorno u(0)=0 e u(h)=U. Integrando duas vezes, obtemos
u(y)=\frac{U}{h}\,y.

Passo 3

A equação de energia em regime permanente, desprezando fluxo convectivo no x e z e assumindo propriedades constantes, é
k\,\frac{d^2T}{dy^2} + \mu\Bigl(\frac{du}{dy}\Bigr)^{2}=0,
onde k é a condutividade térmica e \mu a viscosidade dinâmica. Como
\frac{du}{dy}=\frac{U}{h}
é constante, a fonte de calor por dissipação viscosa é \mu(U/h)^2.

Passo 4

Substituindo na equação de energia:
k\,\frac{d^2T}{dy^2} + \mu\frac{U^2}{h^2}=0,
integramos uma vez:
\frac{dT}{dy}=-\frac{\mu\,U^2}{k\,h^2}\,y + C_1,
e uma segunda vez:
T(y)=-\frac{\mu\,U^2}{2k\,h^2}\,y^2 + C_1\,y + C_2.
Aplicamos as condições de contorno:
  1. Placa isolada em y=0 implica \bigl.dT/dy\bigr|_{y=0}=0, logo C_1=0.
  2. Placa móvel em y=h tem T(h)=T_m, então
T_m=-\frac{\mu\,U^2}{2k} + C_2 \;\Longrightarrow\; C_2=T_m+\frac{\mu\,U^2}{2k}.
Portanto
T(y)=T_m+\frac{\mu\,U^2}{2k}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{y}{h}\bigr)^2\Bigr].

Passo 5

a) A temperatura na placa isolada y=0 é
T(0)=T_m+\frac{\mu\,U^2}{2k}.

Passo 6

b) O fluxo de calor na placa móvel y=h é
q=-k\frac{dT}{dy}\Bigl|_{y=h} =-k\Bigl(-\frac{\mu\,U^2}{k\,h}\Bigr) =\frac{\mu\,U^2}{h}.

Passo 7

c) Os perfis são:
  • Velocidade u(y): reta que parte de u(0)=0 e cresce linearmente até u(h)=U.
  • Temperatura T(y): máxima em y=0 com valor T(0) e decresce em forma de parábola até T(h)=T_m.
    Gráficos esquemáticos:
\text{(i) Perfil de velocidade:} \quad \begin{array}{c} u\\\ |\\\ | / | / | / | / +---------------- y \end{array} \qquad \text{(ii) Perfil de temperatura:} \quad \begin{array}{c} T\\\ | ____ | / | | | | +---------------- y \end{array}

Resposta

a) \displaystyle T(0)=T_m+\frac{\mu\,U^2}{2k}.

b) \displaystyle q=\frac{\mu\,U^2}{h}.

c) u(y) cresce linearmente de 0 a U; T(y) decresce em parábola de T(0) até T(h)=T_m.

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