Ar, a 20^{\circ} \mathrm{C}, escoa com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} paralelamente sobre uma placa plana larga, de comprimento \mathrm{L}=1,52 \mathrm{me} 15 \mathrm{~m} de largura. Determine o coeficiente de atrito médio na placa, e a força de resistência média que o ar exerce sobre a placa. Considere que Re crítico corresponde a 5.10^{5}. v_{\mathrm{ar}}=1,516.10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \rho_{\mathrm{ar}}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado descreve escoamento de ar a 20^\circ\mathrm{C} com velocidade U=20,m/s sobre uma placa plana de comprimento L=1,52,m e largura b=15,m, e pede o coeficiente médio de atrito C_{f,\mathrm{m}} e a força de resistência média F_D. Sabemos que ocorre transição laminar–turbulento quando o número de Reynolds local atinge \Re_x=5\times10^5. Vamos usar as leis de atrito de Blasius:
– para fluxo laminar sobre placa plana:
C_f(x)=\frac{0,664}{\sqrt{\Re_x}},
– para fluxo turbulento desenvolvido na placa:
C_f(x)=\frac{0,074}{\Re_x^{1/5}},
e integrar C_f(x) ao longo de 0\le x\le L para obter C_{f,\mathrm{m}}=\tfrac{1}{L}\int_0^L C_f(x)\,dx.

Passo 2

Calculemos o número de Reynolds na extremidade da placa e a posição de transição.
\Re_L=\frac{U\,L}{\nu} =\frac{20\times1,52}{1{,}516\times10^{-5}}\approx2{,}01\times10^6,
maior que \Re_{\rm cr}=5\times10^5, logo há região laminar até
x_{\rm cr} =\frac{\nu\,\Re_{\rm cr}}{U} =\frac{1{,}516\times10^{-5}\times5\times10^5}{20} \approx0{,}379\text{ m},
seguida de região turbulenta até x=L.

Passo 3

Integramos C_f(x)=0,664/\sqrt{\Re_x} de x=0 a x_{\rm cr}. Como \Re_x=U x/\nu, temos
\int_{0}^{x_{\rm cr}}C_f(x)\,dx =0,664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\int_{0}^{x_{\rm cr}}x^{-1/2}dx =1,328\frac{\nu}{U}\,\sqrt{\Re_{\rm cr}}.
Substituindo valores,
\int_{0}^{x_{\rm cr}}C_f\,dx =1,328\;\frac{1{,}516\times10^{-5}}{20}\;\sqrt{5\times10^5} \approx7{,}12\times10^{-4}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Integramos C_f(x)=0,074/\Re_x^{1/5} de x_{\rm cr} a L.
\int_{x_{\rm cr}}^{L}C_f(x)\,dx =0,074\Bigl(\frac{\nu}{U}\Bigr)^{1/5} \int_{x_{\rm cr}}^{L}x^{-1/5}dx =0,0925\Bigl(\frac{\nu}{U}\Bigr)^{1/5}\bigl(L^{4/5}-x_{\rm cr}^{4/5}\bigr).
Numericamente,
\int_{x_{\rm cr}}^{L}C_f\,dx \approx0,00519\;\mathrm{m}.

Passo 5

O coeficiente médio de atrito é
C_{f,\mathrm{m}} =\frac{1}{L}\Bigl[\int_{0}^{x_{\rm cr}}C_f\,dx +\int_{x_{\rm cr}}^{L}C_f\,dx\Bigr] =\frac{7{,}12\times10^{-4}+5{,}19\times10^{-3}}{1{,}52} \approx3,88\times10^{-3}.

Passo 6

A força de resistência sobre a placa é
F_D =C_{f,\mathrm{m}}\;\frac{1}{2}\,\rho\,U^2\;A,
onde A=L\,b=1,52\times15=22,8,m ^2 e \tfrac12\rho U^2=0,5\times1,2\times20^2=240,N/m ^2. Logo,
F_D =3,88\times10^{-3}\times240\times22,8 \approx21{,}2\\ \mathrm{N}.

Resposta

O coeficiente médio de atrito é
C_{f,\mathrm{m}}\approx3,88\times10^{-3},
e a força de resistência média exercida pelo ar na placa é
F_D\approx21{,}2\\ \mathrm{N}.

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