Resolva os problemas
y^prime prime-y=g(t), y(0)=-1, y^prime(0)=2, g(t)=llt, & 0 <= t<1, 1, & t >= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não\mbox{-}homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
O conteúdo é método de solução de EDO linear com coeficientes constantes por partes: vamos achar a solução geral do homogêneo, uma particular em cada trecho, aplicar as condições iniciais em e em .

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-y=0
A equação característica é lambda^2-1=0, com raízes lambda=pm1.
Logo a solução geral do homogêneo é
yh(t)=C1 e^t + C2 e^-t

Passo 3

Para 0<= t<1 temos g(t)=t. Buscamos uma particular polinomial do tipo yp1(t)=A t+B.
Calculando
yp1''=0, yp1''-yp1=-l(A t+Br)overset!=t,
logo -A=1 e -B=0, ou seja A=-1, B=0.
Portanto
yp1(t)=-t

Passo 4

Para t>=1 temos g(t)=1. Buscamos uma particular constante yp2(t)=D.
Então
yp2''=0, yp2''-yp2=-Doverset!=1 ;Longrightarrow;D=-1
Logo
yp2(t)=-1

Passo 5

Solução completa no trecho
Em impomos
Daí . Assim, para

Passo 6

No trecho
Para achar usamos continuidade de e em .
Em :
Em :
Igualando e resulta o sistema linear
Resolvendo, obtém\mbox{-}se
Então, para (t\ge1],

Resposta

Para 0<= t<1:
y(t)=e^t-2e^-t-t
Para t>=1:
y(t)=l(1-tfrac12er)e^t+l(tfrac e2-2r)e^-t-1

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