1 [ 2,0 pontos] - Considere um fio cilíndrico de raio
e com uma densidade de corrente NĂO UNIFORME dada por
, em que
é uma constante e r está em metros.
A) Determine a corrente total que pasa pelo fio.
B) Determine a corrente que passa pelo fio na região entre
até
A) Determine a corrente total que pasa pelo fio.
B) Determine a corrente que passa pelo fio na região entre
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (A) determinar a corrente total que passa pelo fio cilíndrico de raio
; - (B) determinar a corrente que passa pelo fio na região entre
até .
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
-
. - A densidade de corrente é radialmente simétrica e dada por
, com . - A variável
está em metros e mede a distância ao eixo do fio.
Observação importante (a partir dos dados): a expressãofica muito grande quando — isso já é um sinal que pode haver um problema ao integrar desde .
Passo 2
Conceito usado (explicadinho): a corrente elétrica total que atravessa a seção transversal do fio é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Em coordenadas cilíndricas, para uma densidade axial que depende só de
, a contribuição de uma faixa circular de espessura
e raio
à corrente é
onde a área dessa faixa é
comprimento da circunferência
espessura
.
Logo, a corrente total através da seção é
Logo, a corrente total através da seção é
Aqui
e
são os limites radiais da região que se está integrando.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado (substituindo
):
Notei aqui o passo algébrico:
.
Passo 4
Calcular a integral indefinida (regra de potências):
Para vale
.
Aqui , então
Para
Aqui
Portanto, a integral definida entre
e
é
Passo 5
Situação geral e comportamento em
:
Substituindo na expressão da corrente obtemos a fórmula geral para a corrente entre dois raios e
(
):
Substituindo na expressão da corrente obtemos a fórmula geral para a corrente entre dois raios
Agora aplique isso aos pedidos.
Passo 6
(A) Corrente total do fio — integração de
até
.
Para o caso pedido,
e
. Usando a fórmula geral com
e
:
Como
, a expressão diverge para
. Em palavras: a integral não converge porque
tem uma singularidade não integrável em
. Portanto a corrente total é infinita (o modelo matemático dado leva a corrente divergente) — isso significa que, com essa forma de
válida até o eixo, não existe corrente finita.
Explicação física curta: densidade de corrente
cresce muito rápido perto de
; fisicamente isso é não realista (um modelo físico deveria ser regular no centro), por isso o resultado infinito indica que a hipótese matemática é insustentável no eixo.
Passo 7
(B) Corrente entre
e
.
Usando a fórmula geral com
e
:
Novamente o termo
diverge quando
, então a integral diverge para
. Conclusão: a corrente na região entre
e
também é infinita segundo o modelo dado.
Passo 8
Comentário prático (didático e útil para prova): quando uma densidade de corrente tem singularidade no centro, uma forma de tratar formalmente é introduzir um pequeno corte interno
(por exemplo, um núcleo não condutor de raio
) e usar
Isso dá uma expressão finita que mostra como a corrente cresce quando o corte diminui. Por exemplo, a corrente entre
e
(ambos não incluindo
) é finita e vale
que pode ser calculada numericamente se desejado.
Resposta
A) A integral diverge; a corrente total é infinita (não existe valor finito com
integrado desde
).
B) A corrente entre e
também diverge; é infinita (segundo o modelo dado).
B) A corrente entre