1 [ 2,0 pontos] - Considere um fio cilíndrico de raio \mathrm{R}=20 \mathrm{~mm} e com uma densidade de corrente NĂO UNIFORME dada por \mathrm{J}=\mathrm{B} / \mathrm{r}^{3}, em que \mathrm{B}=3 \times 10^{5} \mathrm{~A} . \mathrm{m} é uma constante e r está em metros.
A) Determine a corrente total que pasa pelo fio.
B) Determine a corrente que passa pelo fio na região entre r=0 até r=R / 2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (A) determinar a corrente total que passa pelo fio cilíndrico de raio R;
  • (B) determinar a corrente que passa pelo fio na região entre r=0 até r=R/2.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • R=20\\ \text{mm}=0,02\\ \text{m}.
  • A densidade de corrente é radialmente simétrica e dada por \displaystyle J(r)=\frac{B}{r^{3}}, com B=3\times10^{5}\\ \mathrm{A\cdot m}.
  • A variável r está em metros e mede a distância ao eixo do fio.
    Observação importante (a partir dos dados): a expressão \frac{B}{r^{3}} fica muito grande quando r\to0 — isso já é um sinal que pode haver um problema ao integrar desde r=0.

Passo 2

Conceito usado (explicadinho): a corrente elétrica total que atravessa a seção transversal do fio é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Em coordenadas cilíndricas, para uma densidade axial que depende só de r, a contribuição de uma faixa circular de espessura dr e raio r à corrente é
dI = J(r)\,dA,
onde a área dessa faixa é dA = comprimento da circunferência \times espessura = 2\pi r\,dr.
Logo, a corrente total através da seção é
I=\int_{\text{seção}} J(r)\,dA = \int_{r_{\text{mín}}}^{r_{\text{máx}}} J(r)\,2\pi r\,dr.çãáí
Aqui r_{\text{mín}}í e r_{\text{máx}}á são os limites radiais da região que se está integrando.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado (substituindo J(r)=\dfrac{B}{r^{3}}):
I=\int_{r_{\text{mín}}}^{r_{\text{máx}}} \frac{B}{r^{3}}\;2\pi r\,dr =2\pi B\int_{r_{\text{mín}}}^{r_{\text{máx}}} r^{-2}\,dr.áíáí
Notei aqui o passo algébrico: \dfrac{B}{r^{3}}\cdot r = B r^{-2}.

Passo 4

Calcular a integral indefinida (regra de potências):
Para n\neq -1 vale \displaystyle \int r^{n}\,dr=\frac{r^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int r^{-2}\,dr = \frac{r^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{r}+C.
Portanto, a integral definida entre r_{\text{mín}}í e r_{\text{máx}}á é
\int_{r_{\text{mín}}}^{r_{\text{máx}}} r^{-2}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{\text{mín}}}^{r_{\text{máx}}} = -\frac{1}{r_{\text{máx}}} + \frac{1}{r_{\text{mín}}} = \frac{1}{r_{\text{mín}}}-\frac{1}{r_{\text{máx}}}.áíáíáííá

Passo 5

Situação geral e comportamento em r\to0:
Substituindo na expressão da corrente obtemos a fórmula geral para a corrente entre dois raios a e b ( 0<a<b):
I(a,b)=2\pi B\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Agora aplique isso aos pedidos.

Passo 6

(A) Corrente total do fio — integração de r=0 até r=R.
Para o caso pedido, r_{\text{mín}}=0í e r_{\text{máx}}=Rá. Usando a fórmula geral com a\to0^{+} e b=R:
I(0,R)=\lim_{a\to0^{+}} 2\pi B\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{R}\right).
Como \displaystyle \lim_{a\to0^{+}}\frac{1}{a}=+\infty, a expressão diverge para +\infty. Em palavras: a integral não converge porque J(r) tem uma singularidade não integrável em r=0. Portanto a corrente total é infinita (o modelo matemático dado leva a corrente divergente) — isso significa que, com essa forma de J(r) válida até o eixo, não existe corrente finita.
Explicação física curta: densidade de corrente \propto r^{-3} cresce muito rápido perto de r=0; fisicamente isso é não realista (um modelo físico deveria ser regular no centro), por isso o resultado infinito indica que a hipótese matemática é insustentável no eixo.

Passo 7

(B) Corrente entre r=0 e r=R/2.
Usando a fórmula geral com a\to0^{+} e b=R/2:
I\bigl(0,\tfrac{R}{2}\bigr)=\lim_{a\to0^{+}} 2\pi B\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{R}\right).
Novamente o termo \dfrac{1}{a} diverge quando a\to0^{+}, então a integral diverge para +\infty. Conclusão: a corrente na região entre r=0 e r=R/2 também é infinita segundo o modelo dado.

Passo 8

Comentário prático (didático e útil para prova): quando uma densidade de corrente tem singularidade no centro, uma forma de tratar formalmente é introduzir um pequeno corte interno a>0 (por exemplo, um núcleo não condutor de raio a) e usar
I(a,b)=2\pi B\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Isso dá uma expressão finita que mostra como a corrente cresce quando o corte diminui. Por exemplo, a corrente entre r=R/2 e r=R (ambos não incluindo 0) é finita e vale
I\bigl(\tfrac{R}{2},R\bigr)=2\pi B\left(\frac{2}{R}-\frac{1}{R}\right)=2\pi\frac{B}{R},
que pode ser calculada numericamente se desejado.

Resposta

A) A integral diverge; a corrente total é infinita (não existe valor finito com J(r)=B/r^{3} integrado desde r=0).
B) A corrente entre r=0 e r=R/2 também diverge; é infinita (segundo o modelo dado).

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