(7 pontos) Considere a função f(x)=4 x-12(x-2)^2. Verifique que f^prime(x)=-4 x+16(x-2)^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar a derivada da função $ f(x) = \frac{4x - 12}{(x - 2)^2} $ e mostrar que ela é igual a $ f^{\prime}(x) = \frac{-4x + 16}{(x - 2)^3} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente da derivada, que é útil quando temos uma função dividida por outra. Então, vamos aplicar essa regra passo a passo para encontrar $ f^{\prime}(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função:
  • Numerador: $ u(x) = 4x - 12 $
  • Denominador: $ v(x) = (x - 2)^2 $
A regra do quociente nos diz que a derivada de $ \frac{u}{v} $ é:
u(x) = 4x - 12
Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  • Derivada de $ u(x) $:
v(x) = (x - 2)^2
  • Derivada de $ v(x) $:
uv
Agora, substituímos na fórmula da regra do quociente:
f^prime(x) = u^prime(x) cdot v(x) - u(x) cdot v^prime(x)[v(x)]^2

Passo 3

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Expande os termos:
4(x - 2)^2 = 4(x^2 - 4x + 4) = 4x^2 - 16x + 16
(4x - 12) cdot 2(x - 2) = 2(4x - 12)(x - 2) = 2(4x^2 - 20x + 24) = 8x^2 - 40x + 48
  1. Subtrai os dois termos:
4x^2 - 16x + 16 - (8x^2 - 40x + 48) = 4x^2 - 16x + 16 - 8x^2 + 40x - 48 = -4x^2 + 24x - 32
  1. Fatorando o numerador:
-4x^2 + 24x - 32 = -4(x^2 - 6x + 8) = -4(x - 2)(x - 4)
  1. Simplificando a fração:
f^prime(x) = -4(x - 2)(x - 4)(x - 2)^4 = -4(x - 4)(x - 2)^3 = -4x + 16(x - 2)^3

Resposta

Concluímos que a derivada de $ f(x) $ é $ f^{\prime}(x) = \frac{-4x + 16}{(x - 2)^3} $, conforme solicitado.

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