(7 pontos) Considere a função
. Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar a derivada da função $ f(x) = \frac{4x - 12}{(x - 2)^2} $ e mostrar que ela é igual a $ f^{\prime}(x) = \frac{-4x + 16}{(x - 2)^3} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente da derivada, que é útil quando temos uma função dividida por outra. Então, vamos aplicar essa regra passo a passo para encontrar $ f^{\prime}(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função:
- Numerador: $ u(x) = 4x - 12 $
- Denominador: $ v(x) = (x - 2)^2 $
A regra do quociente nos diz que a derivada de $ \frac{u}{v} $ é:
Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
- Derivada de $ u(x) $:
- Derivada de $ v(x) $:
Agora, substituímos na fórmula da regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
- Expande os termos:
- Subtrai os dois termos:
- Fatorando o numerador:
- Simplificando a fração:
Resposta
Concluímos que a derivada de $ f(x) $ é $ f^{\prime}(x) = \frac{-4x + 16}{(x - 2)^3} $, conforme solicitado.