Seja
a superfície do cone
entre os planos
e
.
(a)
Calcule a área de
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da superfície $ S $ de um cone definido pela equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $, limitado entre os planos $ z = 0 $ e $ z = 3 $.
Matéria envolvida: Cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, especificamente cones.
O que vamos precisar: Entender como parametrizar a superfície do cone e usar o conceito de área de superfície em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do cone dado pela equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $. Podemos reescrever essa equação como $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, o que indica que o cone tem seu vértice na origem (0,0,0) e se abre para cima.
Teoria aplicada: A equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ descreve um cone circular reto, onde o ângulo entre a geratriz (a linha que vai do vértice até a base) e o eixo $ z $ é de 45 graus.
Passo 3
Para calcular a área da superfície desse cone entre $ z = 0 $ e $ z = 3 $, vamos usar coordenadas polares, que são mais adequadas para superfícies com simetria circular como esse cone.
Em coordenadas polares, temos:
- $ x = r \cos\theta $
- $ y = r \sin\theta $
- $ z = r $ (já que $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r $)
Teoria aplicada: A troca para coordenadas polares simplifica a integração ao explorar a simetria circular do cone.
Passo 4
A fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada em coordenadas $ r $ e $ \theta $ é:
No nosso caso, $ z = r $, então:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. Como o cone está limitado entre $ z = 0 $ e $ z = 3 $, e $ z = r $, então $ r $ varia de 0 a 3. O ângulo $ \theta $ completa uma volta completa, ou seja, de 0 a $ 2\pi $.
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 7
Resolvendo a integral externa:
Portanto:
Resposta
A área da superfície $ S $ é $ 9\sqrt{2}\pi $ unidades de área.