Seja S a superfície do cone z^2=x^2+y^2 entre os planos z=0 e z=3.
(a) (0,6) Calcule a área de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da superfície $ S $ de um cone definido pela equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $, limitado entre os planos $ z = 0 $ e $ z = 3 $.
Matéria envolvida: Cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, especificamente cones.
O que vamos precisar: Entender como parametrizar a superfície do cone e usar o conceito de área de superfície em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cone dado pela equação $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $. Podemos reescrever essa equação como $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, o que indica que o cone tem seu vértice na origem (0,0,0) e se abre para cima.
Teoria aplicada: A equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ descreve um cone circular reto, onde o ângulo entre a geratriz (a linha que vai do vértice até a base) e o eixo $ z $ é de 45 graus.

Passo 3

Para calcular a área da superfície desse cone entre $ z = 0 $ e $ z = 3 $, vamos usar coordenadas polares, que são mais adequadas para superfícies com simetria circular como esse cone.
Em coordenadas polares, temos:
  • $ x = r \cos\theta $
  • $ y = r \sin\theta $
  • $ z = r $ (já que $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r $)
Teoria aplicada: A troca para coordenadas polares simplifica a integração ao explorar a simetria circular do cone.

Passo 4

A fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada em coordenadas $ r $ e $ \theta $ é:
r
No nosso caso, $ z = r $, então:
theta
Substituindo na fórmula:
A = integral duplaD raiz( partial zpartial r )^2 + ( partial zpartial theta )^2 + 1 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. Como o cone está limitado entre $ z = 0 $ e $ z = 3 $, e $ z = r $, então $ r $ varia de 0 a 3. O ângulo $ \theta $ completa uma volta completa, ou seja, de 0 a $ 2\pi $.
Portanto, a integral fica:
z = 0

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^3 r , dr = [ 12 r^2 ]0^3 = 12 (3)^2 - 12 (0)^2 = 92
Agora, substituímos de volta na integral externa:
A = raiz2 integral0^2pi 92 , dtheta = 9raiz22 integral0^2pi dtheta

Passo 7

Resolvendo a integral externa:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
A = 9raiz22 times 2pi = 9raiz2 pi

Resposta

A área da superfície $ S $ é $ 9\sqrt{2}\pi $ unidades de área.

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