Seja gamma a curva descrita por uma partícula que se move de A=(0,0,4) para B=(2,0,4) para C=(2,4,4) para D=(0,4,4) e, novamente, para A, de modo que gamma é o perímetro do retângulo A B C D. Se F(x, y, z)=(cos (x+z), x z+y^2, z+y e^x), calcule
ointgamma F cdot d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada de um campo vetorial F(x,y,z)=l(cos(x+z),,x z+y^2,,z+y e^xr) ao longo do contorno gamma que é o perímetro do retângulo com vértices A=(0,0,4), B=(2,0,4), C=(2,4,4) e D=(0,4,4). O conteúdo principal é integral de linha em superfície plana e vamos usar o Teorema de Green no plano xy, já que z=4 é constante.

Passo 2

Começamos identificando que ao longo de gamma vale dz=0, logo
ointgammaFcdot dr=ointgammaP,dx+Q,dy,
onde definimos
P(x,y)=cos(x+z), Q(x,y)=x z+y^2,
com z=4 constante. Assim nos restam apenas as componentes no plano xy.

Passo 3

Pelo Teorema de Green no sentido anti-horário temos
ointgammaP,dx+Q,dy=integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
em que R=[0,2]times[0,4]. Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x=z=4, partial Ppartial y=0

Passo 4

Portanto o integrando é constante igual a 4, e
integral duplaR4,dA=4timesl(área de Rr)=4times(2cdot4)=32á

Resposta

32

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