(7 pontos) Considere a função f(x)=4 x-12(x-2)^2. Usando o fato que f^prime prime(x)=8 x-40(x-2)^4, determine o ponto de inflexão e encontre os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x - 12}{(x - 2)^2} $ e a segunda derivada dela $ f’’(x) = \frac{8x - 40}{(x - 2)^4} $. Precisamos encontrar o ponto de inflexão dessa função e descobrir onde o gráfico dela é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e concavidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. É o ponto onde a curvatura do gráfico muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar isso, olhamos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde $ f’’(x) = 0 $ ou não está definida.

Passo 3

Vamos resolver $ f’’(x) = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
f''(x) = 0
O numerador tem que ser zero, então:
8x - 40(x - 2)^4 = 0
8x - 40 = 0
8x = 40

Passo 4

Agora, vamos verificar se $ x = 5 $ realmente é um ponto de inflexão. Precisamos ver se a segunda derivada muda de sinal passando por $ x = 5 $.

Passo 5

Escolhemos valores à esquerda e à direita de $ x = 5 $ para testar o sinal de $ f’’(x) $.
Para $ x < 5 $, por exemplo $ x = 3 $:
x = 5
Então, $ f’’(3) < 0 $, o gráfico é côncavo para baixo.
Para $ x > 5 $, por exemplo $ x = 6 $:
f''(x)
Então, $ f’’(6) > 0 $, o gráfico é côncavo para cima.

Passo 6

Como a segunda derivada muda de negativo para positivo passando por $ x = 5 $, isso confirma que $ x = 5 $ é um ponto de inflexão.

Resposta

O ponto de inflexão está em $ x = 5 $. O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo $ (-\infty, 5) $ e côncavo para cima no intervalo $ (5, +\infty) $.

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