(7 pontos) Considere a função
. Usando o fato que
, determine o ponto de inflexão e encontre os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x - 12}{(x - 2)^2} $ e a segunda derivada dela $ f’’(x) = \frac{8x - 40}{(x - 2)^4} $. Precisamos encontrar o ponto de inflexão dessa função e descobrir onde o gráfico dela é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. É o ponto onde a curvatura do gráfico muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar isso, olhamos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde $ f’’(x) = 0 $ ou não está definida.
Passo 3
Vamos resolver $ f’’(x) = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
O numerador tem que ser zero, então:
Passo 4
Agora, vamos verificar se $ x = 5 $ realmente é um ponto de inflexão. Precisamos ver se a segunda derivada muda de sinal passando por $ x = 5 $.
Passo 5
Escolhemos valores à esquerda e à direita de $ x = 5 $ para testar o sinal de $ f’’(x) $.
Para $ x < 5 $, por exemplo $ x = 3 $:
Então, $ f’’(3) < 0 $, o gráfico é côncavo para baixo.
Para $ x > 5 $, por exemplo $ x = 6 $:
Então, $ f’’(6) > 0 $, o gráfico é côncavo para cima.
Passo 6
Como a segunda derivada muda de negativo para positivo passando por $ x = 5 $, isso confirma que $ x = 5 $ é um ponto de inflexão.
Resposta
O ponto de inflexão está em $ x = 5 $. O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo $ (-\infty, 5) $ e côncavo para cima no intervalo $ (5, +\infty) $.