onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m_{1}^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sin ais.
Passo 1
O enunciado descreve a firma 1 que escolhe preço \,p_{1} e marketing \,m_{1} para maximizar
sob hipótese de solução interna p_{1}^{*}>0, m_{1}^{*}>0.
(a) Pede-se as primeiras ordens e o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}=f_{1}+f_{2}.
(b) Pede-se condições suficientes de segunda ordem e em particular restrição sobre \partial^{2}f_{1}/\partial m_{1}^{2}.
(c) Pede-se as derivadas \partial p_{1}^{*}/\partial m_{2} e \partial m_{1}^{*}/\partial m_{2} e seus sinais.
Passo 2
Derivando \pi em relação a p_{1} e m_{1} e igualando a zero:
com \det H>0 (já que hessiana negativa definida). Como G_{m}=(p_{1}-c)\,f_{1,mm}<0, segue
\frac{\partial p_{1}^{*}}{\partial m_{2}}>0.
Para \partial m_{1}^{*}/\partial m_{2} temos sinal dado por -F_{m_{2}}\,G_{p}. Sabendo F_{m_{2}}<0, o sinal de \partial m_{1}^{*}/\partial m_{2} é oposto ao de
G_{p} =f_{1,m_{1}}+(p_{1}-c)\,f_{1,p_{1}m_{1}}.
Em geral f_{1,m_{1}}>0, de modo que se f_{1,p_{1}m_{1}} não for muito negativo, então G_{p}>0 e