1. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)\right]-m_{1}
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m_{1}, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\begin{gathered} \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0, \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial m_{1}}>0 \\\ \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial p_{2}}>0 \text { e } \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial m_{2}}<0 \end{gathered}
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m_{1}^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sin ais.

Passo 1

O enunciado descreve a firma 1 que escolhe preço \,p_{1} e marketing \,m_{1} para maximizar
\pi(p_{1},m_{1};p_{2},m_{2}) =(p_{1}-c)\bigl[f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2})\bigr]\;-\;m_{1},
sob hipótese de solução interna p_{1}^{*}>0, m_{1}^{*}>0.
(a) Pede-se as primeiras ordens e o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}=f_{1}+f_{2}.
(b) Pede-se condições suficientes de segunda ordem e em particular restrição sobre \partial^{2}f_{1}/\partial m_{1}^{2}.
(c) Pede-se as derivadas \partial p_{1}^{*}/\partial m_{2} e \partial m_{1}^{*}/\partial m_{2} e seus sinais.

Passo 2

Derivando \pi em relação a p_{1} e m_{1} e igualando a zero:
\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}} =\underbrace{f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2})}_{q_{1}} \;+\;(p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}} =0,
\frac{\partial \pi}{\partial m_{1}} =(p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial m_{1}} -1 =0.
Da segunda condição (p_{1}-c)\,\partial f_{1}/\partial m_{1}=1 e como \partial f_{1}/\partial m_{1}>0, segue
p_{1}^{*}-c>0.
Inserindo em \partial\pi/\partial p_{1}=0 temos q_{1}+(p_{1}-c)f_{1,p_{1}}=0. Como f_{1,p_{1}}<0 e (p_{1}-c)>0, então q_{1}=f_{1}+f_{2}>0.

Passo 3

O critério de segunda ordem exige a matriz Hessiana negativa definida. Denotando
F_{pp}=\frac{\partial^{2}\pi}{\partial p_{1}^{2}}, \quad F_{mm}=\frac{\partial^{2}\pi}{\partial m_{1}^{2}}, \quad F_{pm}=\frac{\partial^{2}\pi}{\partial p_{1}\partial m_{1}},
as condições são
F_{pp}<0, \quad \det\begin{pmatrix}F_{pp}&F_{pm}\F_{pm}&F_{mm}\end{pmatrix}>0.
Calcular
F_{pp} =(p_{1}-c)\,f_{1,pp}+2\,f_{1,p_{1}}, \quad F_{mm} =(p_{1}-c)\,f_{1,mm}, \quad F_{pm} =f_{1,m_{1}}+(p_{1}-c)\,f_{1,p_{1}m_{1}}.
Já sabemos f_{1,p_{1}}<0, f_{1,pp}<0 e p_{1}-c>0, logo F_{pp}<0.
Para a determinante positiva exige-se
(p_{1}-c)\,f_{1,mm}\;\bigl[(p_{1}-c)\,f_{1,pp}+2\,f_{1,p_{1}}\bigr] \;-\; \bigl[f_{1,m_{1}}+(p_{1}-c)\,f_{1,p_{1}m_{1}}\bigr]^{2} >0.
Isto impõe que f_{1,mm} seja suficientemente negativo. Em particular, deve valer
f_{1,mm}<0
e com magnitude grande o bastante para satisfazer a desigualdade acima.

Passo 4

Para o efeito de m_{2} usamos diferenciação implícita das FOCs. Denotando as FOCs
F(p_{1},m_{1},m_{2})=0, \quad G(p_{1},m_{1})=0,
e calculando totalmente, obtemos o sistema
\begin{pmatrix} F_{p} & F_{m}\\\ G_{p} & G_{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}p_{1}\\\ \mathrm{d}m_{1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} F_{m_{2}}\\\\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{d}m_{2} =0.
Aqui F_{m_{2}}=\partial f_{2}/\partial m_{2}<0. A solução é
\frac{\partial p_{1}^{*}}{\partial m_{2}} =-\frac{F_{m_{2}}\,G_{m}}{\det H}, \quad \frac{\partial m_{1}^{*}}{\partial m_{2}} =-\frac{F_{m_{2}}\,G_{p}}{\det H},
com \det H>0 (já que hessiana negativa definida). Como G_{m}=(p_{1}-c)\,f_{1,mm}<0, segue
\frac{\partial p_{1}^{*}}{\partial m_{2}}>0.
Para \partial m_{1}^{*}/\partial m_{2} temos sinal dado por -F_{m_{2}}\,G_{p}. Sabendo F_{m_{2}}<0, o sinal de \partial m_{1}^{*}/\partial m_{2} é oposto ao de
G_{p} =f_{1,m_{1}}+(p_{1}-c)\,f_{1,p_{1}m_{1}}.
Em geral f_{1,m_{1}}>0, de modo que se f_{1,p_{1}m_{1}} não for muito negativo, então G_{p}>0 e
\frac{\partial m_{1}^{*}}{\partial m_{2}}<0.

Resposta

(a)
\frac{\partial \pi}{\partial p_{1}}: \;q_{1}+(p_{1}-c)\,f_{1,p_{1}}=0, \quad \frac{\partial \pi}{\partial m_{1}}: \;(p_{1}-c)\,f_{1,m_{1}}-1=0.
Desses resultados segue [p_{1}^{*}-c>0) e q_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*},p_{2},m_{2})>0.
(b)
É necessário
F_{pp}=(p_{1}-c)f_{1,pp}+2f_{1,p_{1}}<0, \quad \det H>0,
o que exige em particular f_{1,mm}<0 (com magnitude suficiente) para garantir F_{mm}=(p_{1}-c)f_{1,mm}<0 e \det H>0.
(c)
\frac{\partial p_{1}^{*}}{\partial m_{2}}>0, \quad \frac{\partial m_{1}^{*}}{\partial m_{2}} \begin{cases} <0,&\text{se }G_{p}=f_{1,m_{1}}+(p_{1}-c)f_{1,p_{1}m_{1}}>0,\\\ \text{(ambíguo)},&\text{caso contrário.} \end{cases}íá
Sob a hipótese usual de f_{1,p_{1}m_{1}}\] não muito negativo, tem-se \(\partial m_{1}^{*}/\partial m_{2}<0.

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