( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. Analise os sinais.
Passo 1
O enunciado descreve uma firma que escolhe o preço \,p_{1} e o gasto de marketing \,m para maximizar
\pi(p_{1},m,p_{2}) = (p_{1}-c)\bigl[f(p_{1},m)+b\,p_{2}\bigr] - m
sujeita a q_{1}=f(p_{1},m)+b\,p_{2}. Sabemos que \partial f/\partial p_{1}<0, \partial^{2}f/\partial p_{1}^{2}<0 e \partial f/\partial m>0.
Precisamos:
(a) escrever as condições de primeira ordem (FOC) e determinar o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}.
(b) achar as condições de segunda ordem (SOC) para um máximo local estrito e identificar o sinal de \partial^{2}f/\partial m^{2}.
(c) usar o Teorema da Função Implícita para achar \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} e \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} e analisar seus sinais.
O sinal de \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} coincide com o de f_{m}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}m}, que pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal e da magnitude de f_{p_{1}m}.]
Resposta
(a) \displaystyle\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}}=f+b\,p_{2}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}}=0, \displaystyle\frac{\partial\pi}{\partial m}=(p_{1}-c)\,f_{m}-1=0.
Do primeiro FOC resulta p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})>0.