1. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. Analise os sinais.

Passo 1

O enunciado descreve uma firma que escolhe o preço \,p_{1} e o gasto de marketing \,m para maximizar
\pi(p_{1},m,p_{2}) = (p_{1}-c)\bigl[f(p_{1},m)+b\,p_{2}\bigr] - m
sujeita a q_{1}=f(p_{1},m)+b\,p_{2}. Sabemos que \partial f/\partial p_{1}<0, \partial^{2}f/\partial p_{1}^{2}<0 e \partial f/\partial m>0.
Precisamos:
(a) escrever as condições de primeira ordem (FOC) e determinar o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}.
(b) achar as condições de segunda ordem (SOC) para um máximo local estrito e identificar o sinal de \partial^{2}f/\partial m^{2}.
(c) usar o Teorema da Função Implícita para achar \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} e \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} e analisar seus sinais.

Passo 2

Calculemos as FOC:
  1. Derivada de \pi em relação a p_{1}:
\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}} = \underbrace{f_{p_{1}}}_{\partial f/\partial p_{1}} + 0 + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}p_{1}} + \underbrace{f_{p_{1}}}_{\partial f/\partial p_{1}} = f_{p_{1}} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}p_{1}} + f_{p_{1}}.
Reorganizando, note que f_{p_{1}}+f_{p_{1}}=2\,f_{p_{1}}. Mas é mais imediato usar a forma equivalente:
\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}} = f + b\,p_{2} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}} \;\overset{!}{=}\;0.
  1. Derivada de \pi em relação a m:
\frac{\partial\pi}{\partial m} = (p_{1}-c)\,f_{m} - 1 \;\overset{!}{=}\;0.

Passo 3

Da primeira FOC
f(p_{1},m)+b\,p_{2} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}} = 0 \;\Longrightarrow\; (p_{1}-c)\,f_{p_{1}} = -\bigl[f+b\,p_{2}\bigr] = -q_{1}.
Como f_{p_{1}}<0, o produto (p_{1}-c)\,f_{p_{1}} é negativo só se p_{1}-c>0 e q_{1}>0. Logo, no ótimo interior
p_{1}^{*}-c>0 \quad\text{e}\quad q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})>0.

Passo 4

Para garantir máximo local, o Hessiano de \pi em (p_{1},m) deve ser negativo-definido.
1.
\pi_{11} = \frac{\partial^{2}\pi}{\partial p_{1}^{2}} = 2\,f_{p_{1}} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}p_{1}},
que é < 0 pois f_{p_{1}}<0, f_{p_{1}p_{1}}<0 e p_{1}-c>0.
2.
\pi_{22} = \frac{\partial^{2}\pi}{\partial m^{2}} = (p_{1}-c)\,f_{mm}.
Para \pi_{22}<0 precisamos
f_{mm}<0.
  1. O determinante do Hessiano deve satisfazer
\det = \pi_{11}\,\pi_{22} - \bigl(\pi_{12}\bigr)^{2} > 0,
onde
\pi_{12} = f_{m} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}m}.

Passo 5

Use o Teorema da Função Implícita sobre o sistema
\begin{cases} F_{1}(p_{1},m,p_{2}) = f + b\,p_{2} + (p_{1}-c)\,f_{p_{1}} = 0,\\[6pt] F_{2}(p_{1},m,p_{2}) = (p_{1}-c)\,f_{m} - 1 = 0. \end{cases}
Diferenciando totalmente e resolvendo o sistema linear em (dp_{1},dm), obtém-se
\frac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} = -\,\frac{b\,\pi_{22}}{\pi_{11}\,\pi_{22} - (\pi_{12})^{2}} = -\,\frac{b\,(p_{1}-c)\,f_{mm}}{\det},
\frac{dm^{*}}{dp_{2}} = \frac{b\,\pi_{12}}{\pi_{11}\,\pi_{22} - (\pi_{12})^{2}} = \frac{b\bigl[f_{m}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}m}\bigr]}{\det}.
Como b>0, \det>0, p_{1}-c>0 e f_{mm}<0, segue
\frac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}}>0.
O sinal de \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} coincide com o de f_{m}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}m}, que pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal e da magnitude de f_{p_{1}m}.]

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}}=f+b\,p_{2}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}}=0, \displaystyle\frac{\partial\pi}{\partial m}=(p_{1}-c)\,f_{m}-1=0.
Do primeiro FOC resulta p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})>0.
(b)
É necessário
\pi_{11}<0,\quad \pi_{22}<0,\quad \pi_{11}\,\pi_{22}-(\pi_{12})^{2}>0.
Em particular, \pi_{22}=(p_{1}-c)\,f_{mm}<0 exige \displaystyle f_{mm}<0.
(c)
\frac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} =-\frac{b\,(p_{1}-c)\,f_{mm}}{\det}>0, \quad \frac{dm^{*}}{dp_{2}} =\frac{b\bigl[f_{m}+(p_{1}-c)\,f_{p_{1}m}\bigr]}{\det},
logo dp_{1}^{*}/dp_{2}>0 e o sinal de dm^{*}/dp_{2} depende de f_{p_{1}m}.

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