As seguintes três matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\ D & A & E \\\\ 0 & E & A\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\ D & A & E\\\\ 0 & E & A \end{pmatrix}
e pede que a gente determine, nos dois casos (i) b_1=\dots=b_m=0 (caso homogêneo) e (ii) b geral, quantas soluções o sistema A x=b tem.
Conteúdo: determinante e conceito de invertibilidade (teorema de Rouché–Capelli).
Passo 2
Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
Se \det(A)\neq0, então \rank(A)=3 e A é invertível.
Se \det(A)=0, então \rank(A)<3 e A não é invertível.
Passo 4
Caso homogêneo (b=0):
Se \det(A)\neq0, haja invertibilidade, só existe a solução trivial x=0.
Se \det(A)=0, o sistema tem \dim(\ker A)=3-\rank(A)\ge1 graus de liberdade, logo infinitas soluções.
Passo 5
Caso geral (b arbitrário):
Se \det(A)\neq0, o sistema tem solução única para qualquer b.
Se \det(A)=0, há solução somente se b pertencer à coluna de A (condição de consistência). Nesse caso, quando existir, haverá infinitas soluções; para b “genérico” (fora da coluna), o sistema é impossível.
Geral:
• \det(A)\neq0 \;\Rightarrow única solução para todo b.
• \det(A)=0 \;\Rightarrow ou nenhuma (se b\notin\operatorname{Col}(A)) ou infinitas (se b\in\operatorname{Col}(A)).