As seguintes três matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\ D & A & E \\\\ 0 & E & A\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\ D & A & E\\\\ 0 & E & A \end{pmatrix}
e pede que a gente determine, nos dois casos (i) b_1=\dots=b_m=0 (caso homogêneo) e (ii) b geral, quantas soluções o sistema A x=b tem.
Conteúdo: determinante e conceito de invertibilidade (teorema de Rouché–Capelli).

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}A&E\E&A\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}D&E\\\ 0&A\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}D&A\\\ 0&E\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}A&E\E&A\end{pmatrix}=A^2-E^2,\quad \det\begin{pmatrix}D&E\\\ 0&A\end{pmatrix}=D\,A,\quad \det\begin{pmatrix}D&A\\\ 0&E\end{pmatrix}=D\,E.
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\det(A) =(A^2-E^2)-2(D\,A)+3(D\,E) = A^2 - E^2 -2DA +3DE.

Passo 3

Se \det(A)\neq0, então \rank(A)=3 e A é invertível.
Se \det(A)=0, então \rank(A)<3 e A não é invertível.

Passo 4

Caso homogêneo (b=0):
  • Se \det(A)\neq0, haja invertibilidade, só existe a solução trivial x=0.
  • Se \det(A)=0, o sistema tem \dim(\ker A)=3-\rank(A)\ge1 graus de liberdade, logo infinitas soluções.

Passo 5

Caso geral (b arbitrário ):
  • Se \det(A)\neq0, o sistema tem solução única para qualquer b.
  • Se \det(A)=0, há solução somente se b pertencer à coluna de A (condição de consistência). Nesse caso, quando existir, haverá infinitas soluções; para b “genérico” (fora da coluna), o sistema é impossível.

Resposta

  • Homogêneo:
    \det(A)\neq0 \;\Rightarrow única (trivial) solução.
    \det(A)=0 \;\Rightarrow infinitas soluções.
  • Geral:
    \det(A)\neq0 \;\Rightarrow única solução para todo b.
    \det(A)=0 \;\Rightarrow ou nenhuma (se b\notin\operatorname{Col}(A)) ou infinitas (se b\in\operatorname{Col}(A)).

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