1. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)\right]-m_{1}
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m_{1}, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\begin{gathered} \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0, \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial m_{1}}>0 \\\ \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial p_{2}}>0 \text { e } \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial m_{2}}<0 \end{gathered}
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que \left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?

Passo 1

O problema trata da firma 1 que escolhe preço p_{1} e gasto de marketing m_{1} para maximizar o lucro
\pi(p_{1},m_{1})=(p_{1}-c)\bigl[f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2})\bigr]-m_{1}.
O conteúdo necessário é: (i) obter as condições de primeira ordem pela diferenciação parcial, (ii) analisar o sinal de p_{1}^{*}-c e de q_{1}=f_{1}+f_{2}, e (iii) usar a Hessiana para as condições suficientes de segundo ordem.

Passo 2

Derivando em relação a p_{1} e a m_{1} e igualando a zero (solução interior), note q_{1}=f_{1}(p_{1},m_{1})+f_{2}(p_{2},m_{2}):
\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}} =q_{1}+(p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}} =0,
\frac{\partial\pi}{\partial m_{1}} =(p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial m_{1}}-1 =0.

Passo 3

Da condição \pi_{p_{1}}=0 vem
(p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}}=-q_{1}.
Como \frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}}<0 e q_{1}>0 (demanda positiva), deve ocorrer p_{1}-c>0.
Da definição q_{1}=f_{1}+f_{2} e das hipóteses de demanda, segue também q_{1}>0.

Passo 4

Para as condições de segundo ordem, calcule a Hessiana de \pi:
\pi_{p_{1}p_{1}} =2\,\frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}} +(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial p_{1}^{2}},
\pi_{m_{1}m_{1}} =(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial m_{1}^{2}},
\pi_{p_{1}m_{1}} =\frac{\partial f_{1}}{\partial m_{1}} +(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial p_{1}\,\partial m_{1}}.

Passo 5

Para que (p_{1}^{*},m_{1}^{*}) seja máximo local estrito, a Hessiana deve ser definida negativa. Isso exige
\pi_{p_{1}p_{1}}<0, \quad \det\!H =\pi_{p_{1}p_{1}}\;\pi_{m_{1}m_{1}} -(\pi_{p_{1}m_{1}})^{2} >0.
Como p_{1}-c>0, a condição \pi_{m_{1}m_{1}}<0 implica
(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial m_{1}^{2}}<0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial m_{1}^{2}}<0.

Resposta

(a) As condições de primeira ordem são
q_{1}+(p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}}=0, \quad (p_{1}-c)\,\frac{\partial f_{1}}{\partial m_{1}}=1.
Dessas segue p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m_{1}^{*},p_{2},m_{2})>0.
(b) As condições suficientes de segundo ordem exigem
2\,\frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}} +(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial p_{1}^{2}}<0, \quad \det\!H>0,
além de
\frac{\partial^{2}f_{1}}{\partial m_{1}^{2}}<0.

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