- ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
onde
é a quantidade demandada pelo bem da firma
é o preço cobrado pela firma 1 ,
é o gasto com marketing da firma
é o preço do bem produzido pela firma 2 e
é o gasto com marketing da firma 2. A função
é duas vezes continuamente diferenciável e a função
é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por
, onde
. Assim, o lucro da firma 1 é
A firma 1 escolhe o seu preço,
, e o seu gasto com marketing,
, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior,
e
, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de
e de
.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que
que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre
?
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior,
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que
Passo 1
O problema trata da firma 1 que escolhe preço
e gasto de marketing
para maximizar o lucro
O conteúdo necessário é: (i) obter as condições de primeira ordem pela diferenciação parcial, (ii) analisar o sinal de
e de
, e (iii) usar a Hessiana para as condições suficientes de segundo ordem.
Passo 2
Derivando em relação a
e a
e igualando a zero (solução interior), note
:
Passo 3
Da condição
vem
Como
e
(demanda positiva), deve ocorrer
.
Da definição e das hipóteses de demanda, segue também
.
Da definição
Passo 4
Para as condições de segundo ordem, calcule a Hessiana de
:
Passo 5
Para que
seja máximo local estrito, a Hessiana deve ser definida negativa. Isso exige
Como
, a condição
implica
Resposta
(a) As condições de primeira ordem são
Dessas segue
e
.
(b) As condições suficientes de segundo ordem exigem
além de