Questĩo 1 (2 pontos)
Considere as morns
\vec{a}
e
\vec{b}
mm espayo vetorial con produto interno, tais que:
|\vec{a}|=7, \quad|\vec{b}|=2 \quad \text { e } \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=-5
Calcule o módulo do vetor
\vec{c}=3 \vec{a}+\vec{b}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} em um espaço vetorial com produto interno, sabendo que
\|\vec{a}\|=7, \|\vec{b}\|=2 e \vec{a}\cdot\vec{b}=-5. Pede o módulo do vetor \vec{c}=3\vec{a}+\vec{b}. Vamos usar a relação entre módulo e produto escalar para encontrar \|\vec{c}\|.

Passo 2

Lembrando que o módulo de qualquer vetor \vec{v} é dado por
\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}},
precisamos então calcular \vec{c}\cdot\vec{c}.

Passo 3

Expandindo o produto escalar de \vec{c}=3\vec{a}+\vec{b} com ele mesmo, obtemos
\vec{c}\cdot\vec{c} = (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(3\vec{a}+\vec{b}) = 9\,\vec{a}\cdot\vec{a} \;+\;6\,\vec{a}\cdot\vec{b}\;+\;\vec{b}\cdot\vec{b}.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos:
\vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2=7^2=49,
\vec{b}\cdot\vec{b}=\|\vec{b}\|^2=2^2=4 e
\vec{a}\cdot\vec{b}=-5,
temos
\|\vec{c}\|^2 = 9\cdot49 + 6\cdot(-5) + 4 = 441 - 30 + 4 = 415.

Passo 5

Logo, o módulo de \vec{c} é
\|\vec{c}\| = \sqrt{415}.

Resposta

\sqrt{415}

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