(2,0 pontos) Considere o modelo IS-LM abaixo:
  • Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
  • Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r)-\gamma i, 0<\beta<1;
  • Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
  • Transferências: \operatorname{Tr}=\theta Y, 0<\theta<\eta;
  • Investimento: I=\mu Y-\varphi i;
  • Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
  • Todos os parâmetros são estritamente positivos.
    (a) ( 1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y, e a taxa de juros, i, que equilibram a economia.
    (b) (1,0 ponto) Mostre como um aumento em \theta impacta Y e i.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo IS–LM com as equações
Y=C+I+G,\quad C=\alpha+\beta(Y-T+Tr)-\gamma i,\quad T=\eta Y,\quad Tr=\theta Y,\quad I=\mu Y-\varphi i,
M^s=\rho Y-\lambda i,
onde todos os parâmetros são positivos e 0<\beta<1,\;0<\theta<\eta<1.
O objetivo de (a) é encontrar o equilíbrio (Y,i) usando a regra de Cramer e de (b) é mostrar o sinal de \partial Y/\partial\theta e \partial i/\partial\theta.

Passo 2

Derivamos a curva IS juntando Y=C+I+G. Substituindo
C=\alpha+\beta\bigl(Y-\eta Y+\theta Y\bigr)-\gamma i,\quad I=\mu Y-\varphi i,
temos
Y=\alpha+\beta(1-\eta+\theta)Y-\gamma i+\mu Y-\varphi i+G.
Agrupando termos em Y e em i, obtemos
\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\,Y-(\gamma+\varphi)\,i=\alpha+G.
Definimos para simplificar
A=1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu,\quad B=\gamma+\varphi,\quad D=\alpha+G,
de modo que a IS fica
A\,Y+B\,i=D.

Passo 3

A curva LM vem de M^s=\rho Y-\lambda i. Reescrevendo,
\rho\,Y-\lambda\,i=M^s.
Definimos
E=\rho,\quad F=\lambda,
ficando a LM em forma linear
E\,Y - F\,i = M^s.

Passo 4

O sistema linear é
\begin{cases} A\,Y + B\,i = D,\\\ E\,Y - F\,i = M^s. \end{cases}
Sua matriz de coeficientes e vetor de termos independentes é
\begin{pmatrix}A & B\\\ E & -F\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}D\\\ M^s\end{pmatrix}.
Pela regra de Cramer,
Y=\frac{\det\begin{pmatrix}D & B\\\ M^s & -F\end{pmatrix}} {\det\begin{pmatrix}A & B\\\ E & -F\end{pmatrix}} =\frac{D(-F)-B\,M^s}{A(-F)-B\,E} =\frac{D\,F+B\,M^s}{A\,F+B\,E},
i=\frac{\det\begin{pmatrix}A & D\\\ E & M^s\end{pmatrix}} {\det\begin{pmatrix}A & B\\\ E & -F\end{pmatrix}} =\frac{A\,M^s-D\,E}{-A\,F-B\,E} =\frac{D\,E-A\,M^s}{A\,F+B\,E}.

Passo 5

Voltando aos parâmetros originais,
Y =\frac{\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s} {\lambda\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr] +(\gamma+\varphi)\rho},
i =\frac{\rho(\alpha+G)-M^s\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]} {\lambda\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr] +(\gamma+\varphi)\rho}.

Passo 6

Para ver o efeito de \theta, note que só o denominador depende de \theta via A=1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu, com \partial A/\partial\theta=-\beta. Seja
\Delta=\lambda A+(\gamma+\varphi)\rho,
N_Y=\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s, \quad N_i=\rho(\alpha+G)-M^s A.
Então
\frac{\partial Y}{\partial\theta} =\frac{0\cdot\Delta - N_Y\,\partial\Delta/\partial\theta}{\Delta^2} =\frac{-N_Y\,(-\beta\lambda)}{\Delta^2} =\frac{\beta\lambda\,N_Y}{\Delta^2}>0,
\frac{\partial i}{\partial\theta} =\frac{\partial N_i\cdot\Delta -N_i\,\partial\Delta/\partial\theta}{\Delta^2} =\frac{\beta M^s\,\Delta +\lambda\beta\,N_i}{\Delta^2} =\frac{\beta\rho\,N_Y}{\Delta^2}>0.

Resposta

Y e i em equilíbrio são
Y =\frac{\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s} {\lambda\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr] +(\gamma+\varphi)\rho}, \qquad i =\frac{\rho(\alpha+G)-M^s\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]} {\lambda\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr] +(\gamma+\varphi)\rho}.
Um aumento em \theta faz \partial Y/\partial\theta>0 e \partial i/\partial\theta>0.

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