As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 2\\\\ 2 & 4\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix},
que corresponde a um sistema com m=3 equações e n=2 incógnitas. Para estudar o número de soluções no caso homogeneizado ( b_1=b_2=b_3=0) e para um vetor de termos independentes genérico (b_1,b_2,b_3), vamos precisar do posto de A.

Passo 2

Para encontrar o posto de A, observamos que basta examinar algum subdeterminante 2\times2. Por exemplo, das duas primeiras linhas:
\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&4\end{pmatrix} =3\cdot4 - 2\cdot2 = 12 - 4 = 8 \neq 0.
Logo existe um menor de ordem 2 não nulo, o que implica
\mathrm{rank}(A) = 2.

Passo 3

Pelo teorema da dimensão, o espaço das incógnitas tem dimensão n=2 e
\dim\ker(A) = n - \mathrm{rank}(A) = 2 - 2 = 0.
Isto significa que o sistema homogêneo A x = 0 admite somente a solução trivial x=0.

Passo 4

O espaço gerado pelas colunas de A (coluna-espaço) tem dimensão igual ao posto, ou seja, 2. Como vivemos em \mathbb{R}^3, isso significa que as colunas de A formam um plano em \mathbb{R}^3. Para um vetor geral b=(b_1,b_2,b_3), o sistema A x = b será compatível se, e somente se, b pertencer a esse plano. Se b estiver nesse plano, a solução é única (porque \dim\ker(A)=0); caso contrário, não há nenhuma solução.

Resposta

(i) Para b_1=b_2=b_3=0, há apenas a solução trivial x=0.
(ii) Para b genérico, o sistema é compatível se, e somente se, b pertencer à coluna-espaço de A (um plano em \mathbb{R}^3); nessa situação a solução é única. Caso contrário, o sistema não tem solução.

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