1. (2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
  2. (2,0 pontos) Considerando o sistema de equações abaixo, calcule o impacto de uma pequena variação em a ao redor do ponto (x, y, a)=(1,0,2) :
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+a x y+y^{2}-1=0 \\\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0 \end{array} .\right.

Passo 1

O item 2 pede para determinar se o conjunto \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3},\;\boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3},\;\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}
é linearmente dependente ou não, sabendo que \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} é linearmente independente. O conteúdo é combinação linear e dependência linear de vetores.

Passo 2

Procuramos coeficientes a,b,c, nem todos zero, tais que
a\,\boldsymbol{u}_{1} \;+\; b\,\boldsymbol{u}_{2} \;+\; c\,\boldsymbol{u}_{3} \;=\; \boldsymbol{0}.
Substituindo \boldsymbol{u}_{i} em termos de \boldsymbol{v}_{j}, obtemos
a(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}) \;+\; b(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3}) \;+\; c(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}) \;=\;\boldsymbol{0}.
Agrupando os \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}, temos o sistema em a,b,c:
\begin{cases} \boldsymbol{v}_{1}:\;b+c=0,\\\ \boldsymbol{v}_{2}:\;a-c=0,\\\ \boldsymbol{v}_{3}:\;-a-b=0. \end{cases}

Passo 3

Dessa forma existem soluções não-triviais. Por exemplo, escolhendo b=1 segue c=-1 e a=-b=-1. Logo
-1\cdot\boldsymbol{u}_{1} \;+\;1\cdot\boldsymbol{u}_{2}\;+\;(-1)\cdot\boldsymbol{u}_{3} \;=\;\boldsymbol{0},
com coeficientes nem todos nulos. Isso prova que \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente dependente.

Passo 4

O item 3 quer saber como pequenas variações em a afetam x e y no ponto (x,y,a)=(1,0,2) dado o sistema
\begin{cases} x^{2}+a\,x\,y+y^{2}-1=0,\\\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0. \end{cases}
Usamos diferenciação implícita e o teorema de funções implícitas para duas equações em três variáveis.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais de \;F(x,y,a)=x^{2}+a\,x\,y+y^{2}-1 e \;G(x,y,a)=x^{2}+y^{2}-a^{2}+3.
\begin{aligned} F_{x}&=2x+a\,y,&F_{y}&=2y+a\,x,&F_{a}&=x\,y,\\\ G_{x}&=2x, &G_{y}&=2y, &G_{a}&=-2a. \end{aligned}
Em (1,0,2) isso dá
F_{x}=2,\;F_{y}=2,\;F_{a}=0, \quad G_{x}=2,\;G_{y}=0,\;G_{a}=-4.

Passo 6

As diferenciais devem satisfazer
\begin{cases} F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{a}\,da=0,\\\ G_{x}\,dx+G_{y}\,dy+G_{a}\,da=0. \end{cases}
Substituindo os valores no ponto,
\begin{cases} 2\,dx+2\,dy+0\cdot da=0,\\\\ 2\,dx+0\cdot dy-4\,da=0. \end{cases}
Da segunda equação vem 2\,dx=4\,da, ou seja
dx=2\,da.
Da primeira segue dx+dy=0, logo
dy=-dx=-2\,da.

Resposta

  1. As diferenças \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3} são linearmente dependentes.
  2. Em torno de (1,0,2) temos
\frac{dx}{da}=2, \qquad \frac{dy}{da}=-2.

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