(2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
(2,0 pontos) Considerando o sistema de equações abaixo, calcule o impacto de uma pequena variação em a ao redor do ponto (x, y, a)=(1,0,2) :
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+a x y+y^{2}-1=0 \\\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0 \end{array} .\right.
Passo 1
O item 2 pede para determinar se o conjunto \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3},\;\boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3},\;\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}
é linearmente dependente ou não, sabendo que \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} é linearmente independente. O conteúdo é combinação linear e dependência linear de vetores.
Passo 2
Procuramos coeficientes a,b,c, nem todos zero, tais que