(2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
(2,0 pontos) Considerando o sistema de equações abaixo, calcule o impacto de uma pequena variação em a ao redor do ponto (x, y, a)=(1,0,2) :
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+a x y+y^{2}-1=0 \\\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0 \end{array} .\right.
Passo 1
Questão 2: temos um conjunto de vetores \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} linearmente independentes e definimos \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}.
Precisamos decidir se \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente dependente ou independente.
Passo 2
Para testar dependência, procuramos escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, não todos nulos, tais que
Como encontramos uma combinação não trivial que dá o vetor zero, concluímos que \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente dependente.
e queremos o efeito de uma pequena variação em a perto de (x,y,a)=(1,0,2). Usamos o Teorema da Função Implícita para obter \tfrac{\partial x}{\partial a} e \tfrac{\partial y}{\partial a}.