1. (2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
  2. (2,0 pontos) Considerando o sistema de equações abaixo, calcule o impacto de uma pequena variação em a ao redor do ponto (x, y, a)=(1,0,2) :
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+a x y+y^{2}-1=0 \\\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0 \end{array} .\right.

Passo 1

Questão 2: temos um conjunto de vetores \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\} linearmente independentes e definimos \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}.
Precisamos decidir se \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente dependente ou independente.

Passo 2

Para testar dependência, procuramos escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, não todos nulos, tais que
\alpha_{1}\boldsymbol{u}_{1}+\alpha_{2}\boldsymbol{u}_{2}+\alpha_{3}\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{0}.
Observe que basta tomar
\alpha_{1}=1,\quad \alpha_{2}=-1,\quad \alpha_{3}=1,
pois então
\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{u}_{2}+\boldsymbol{u}_{3} =(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}) -(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3}) +(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}) =\boldsymbol{0}.

Passo 3

Como encontramos uma combinação não trivial que dá o vetor zero, concluímos que \{\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3}\} é linearmente dependente.

Passo 4

Questão 3: temos o sistema
\begin{cases} x^{2}+a\,x\,y+y^{2}-1=0,\\\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0, \end{cases}
e queremos o efeito de uma pequena variação em a perto de (x,y,a)=(1,0,2). Usamos o Teorema da Função Implícita para obter \tfrac{\partial x}{\partial a} e \tfrac{\partial y}{\partial a}.

Passo 5

Definimos
F(x,y,a)=x^{2}+a\,x\,y+y^{2}-1, \quad G(x,y,a)=x^{2}+y^{2}-a^{2}+3.
As condições implícitas são
F(x,y,a)=0,\quad G(x,y,a)=0.

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais em (1,0,2):
F_{x}=2x+a y\Big|_{(1,0,2)}=2,\quad F_{y}=a x+2y\Big|_{(1,0,2)}=2,\quad F_{a}=x y\Big|_{(1,0,2)}=0,
G_{x}=2x\Big|_{(1,0,2)}=2,\quad G_{y}=2y\Big|_{(1,0,2)}=0,\quad G_{a}=-2a\Big|_{(1,0,2)}=-4.

Passo 7

As variações satisfazem o sistema linear
\begin{cases} F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{a}\,da=0,\\\ G_{x}\,dx+G_{y}\,dy+G_{a}\,da=0, \end{cases}
ou seja
\begin{cases} 2\,dx+2\,dy+0\,da=0,\\\\ 2\,dx+0\,dy-4\,da=0. \end{cases}
Da segunda equação vem dx=2\,da. Substituindo na primeira, 2\cdot(2\,da)+2\,dy=0\implies dy=-2\,da.

Resposta

(2) As diferenças \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{3} são linearmente dependentes.
(3) No ponto (1,0,2),
\frac{\partial x}{\partial a}=2, \quad \frac{\partial y}{\partial a}=-2.

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