( 2 pontos) Considere o modelo:
a) Identifique o modelo e verifique se é estacionário e/ou invertível.
b) Encontre a facv,
, para
.
c) Encontre a fac,
,e esboçe o gráfico, para
.
b) Encontre a facv,
c) Encontre a fac,
Passo 1
O enunciado dá o processo
E pede:
- (a) identificar o modelo e verificar se é estacionário e/ou invertível;
- (b) encontrar a facv
para ; - (c) encontrar a fac
e esboçar o gráfico para .
Informações relevantes do enunciado:
- Coeficientes do modelo:
(para ), , . - O ruído
é ruído branco com média zero e variância . - Não há mais dados (logo as respostas devem ficar em função de
quando necessário).
Passo 2
Identificar o tipo de modelo e discutir estacionaridade/invertibilidade.
- Identificação: o processo é uma média móvel de ordem 2, isto é, um processo
. Escrevendo em notação padrão:
-
Estacionaridade: todo processo
é estritamente (e em particular fracamente) estacionário porque é uma combinação linear fina do ruído branco (que tem momentos constantes e covariâncias que dependem apenas das diferenças de índices). Logo, este é estacionário. -
Invertibilidade: um
é invertível se os zeros do polinômio de estiverem fora do círculo unitário (isto é, se as raízes tiverem módulo maior que 1). Aqui:
As raízes resolvem
Calcule as raízes:
São conjugadas complexas; o módulo de cada raiz é
Como ambos os módulos são
, as raízes estão fora do círculo unitário. Portanto o processo é invertível.
Conclusão deste passo: é um
que é estacionário e invertível.
Passo 3
Forma geral da facv (autocovariância) para um
e aplicação ao caso.
Para um
escrito como
onde
é ruído branco com variância
, a autocovariância em lag
é dada por
onde
se
ou
. Essa fórmula vem de expandir as duas somas de
e
, usar linearidade da covariância e o fato de que
é zero a menos que os índices coincidam.
No nosso caso
e
Passo 4
Cálculo explícito das autocovariâncias
.
- Para
:
- Para
:
Como
,
- Para
:
Com
,
- Para
: todas as somas envolvem pelo menos um com e portanto são zero. Logo
Passo 5
Cálculo das autocorrelações
e interpretação.
Definição:
. Usando os valores obtidos:
-
por definição. -
. -
. -
Para
: .
Interpretação para o gráfico: o gráfico da fac
(para
) é um gráfico de barras (ou sequência pontual) com valores
Ou seja, a autocorrelação é não nula somente nos lags até
e zera depois — comportamento típico de um
.
Resposta
(a)
. O processo é estacionário e invertível.
(b) para
.
(c) para
.
(b)
(c)