( 2 pontos) Considere o modelo:
Z_{t}=a_{t}+0,7 a_{t-1}+0,3 a_{t-2} ; a_{t} \backsim R B\left(0, \sigma_{a}^{2}\right)
a) Identifique o modelo e verifique se é estacionário e/ou invertível.
b) Encontre a facv, f_{k}=\operatorname{Cov}\left(Z_{t}, Z_{t-k}\right), para k=1,2,3, \ldots.
c) Encontre a fac, \rho_{k}=\frac{\gamma_{k}}{\gamma_{u}},e esboçe o gráfico, para k=1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá o processo
Z_{t}=a_{t}+0,7\,a_{t-1}+0,3\,a_{t-2},\qquad a_{t}\sim RB(0,\sigma_{a}^{2})
E pede:
  • (a) identificar o modelo e verificar se é estacionário e/ou invertível;
  • (b) encontrar a facv f_{k}=\operatorname{Cov}(Z_{t},Z_{t-k}) para k=1,2,3,\ldots;
  • (c) encontrar a fac \rho_{k}=\dfrac{\gamma_{k}}{\gamma_{0}} e esboçar o gráfico para k=1,2,\ldots.
Informações relevantes do enunciado:
  • Coeficientes do modelo: 1 (para a_t), \theta_{1}=0,7, \theta_{2}=0,3.
  • O ruído a_{t} é ruído branco com média zero e variância \sigma_{a}^{2}.
  • Não há mais dados (logo as respostas devem ficar em função de \sigma_{a}^{2} quando necessário).

Passo 2

Identificar o tipo de modelo e discutir estacionaridade/invertibilidade.
  • Identificação: o processo é uma média móvel de ordem 2, isto é, um processo MA(2). Escrevendo em notação padrão:
Z_t = a_t + \theta_1 a_{t-1} + \theta_2 a_{t-2},\quad\text{com }\theta_1=0,7,\\ \theta_2=0,3.
  • Estacionaridade: todo processo MA(q) é estritamente (e em particular fracamente) estacionário porque é uma combinação linear fina do ruído branco (que tem momentos constantes e covariâncias que dependem apenas das diferenças de índices). Logo, este MA(2) é estacionário.
  • Invertibilidade: um MA(q) é invertível se os zeros do polinômio de \Theta(z)=1+\theta_1 z+\theta_2 z^2 estiverem fora do círculo unitário (isto é, se as raízes tiverem módulo maior que 1). Aqui:
\Theta(z)=1+0,7z+0,3z^{2}.
As raízes resolvem
0,3z^{2}+0,7z+1=0.
Calcule as raízes:
z=\frac{-0,7\pm\sqrt{0,7^{2}-4\cdot0,3\cdot1}}{2\cdot0,3} =\frac{-0,7\pm\sqrt{0,49-1,2}}{0,6} =\frac{-0,7\pm\mathrm{i}\sqrt{0,71}}{0,6}.
São conjugadas complexas; o módulo de cada raiz é
|z|=\frac{\sqrt{(-0,7)^{2}+( \sqrt{0,71})^{2}}}{0,6} =\frac{\sqrt{0,49+0,71}}{0,6} =\frac{\sqrt{1,20}}{0,6} \approx\frac{1,095445}{0,6}\approx1,8257>1.
Como ambos os módulos são >1, as raízes estão fora do círculo unitário. Portanto o processo é invertível.
Conclusão deste passo: é um MA(2) que é estacionário e invertível.

Passo 3

Forma geral da facv (autocovariância) para um MA(q) e aplicação ao caso.
Para um MA(q) escrito como
Z_t=\sum_{j=0}^{q}\theta_j a_{t-j},\quad\text{com }\theta_0=1,
onde a_t é ruído branco com variância \sigma_a^{2}, a autocovariância em lag k é dada por
\gamma_k=\operatorname{Cov}(Z_t,Z_{t-k})=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{q}\theta_j\theta_{j+k},
onde \theta_{m}=0 se m>q ou m<0. Essa fórmula vem de expandir as duas somas de Z_t e Z_{t-k}, usar linearidade da covariância e o fato de que \operatorname{Cov}(a_{t-j},a_{t-k-\ell}) é zero a menos que os índices coincidam.
No nosso caso q=2 e
\theta_0=1,\quad \theta_1=0,7,\quad \theta_2=0,3,\quad \theta_j=0\\ \text{para }j\ge3.

Passo 4

Cálculo explícito das autocovariâncias \gamma_k.
  • Para k=0:
\gamma_0=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{2}\theta_j^{2} =\sigma_a^{2}\big(1^{2}+0,7^{2}+0,3^{2}\big) =\sigma_a^{2}\big(1+0,49+0,09\big) =\sigma_a^{2}\cdot1,58.
  • Para k=1:
\gamma_1=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{2}\theta_j\theta_{j+1} =\sigma_a^{2}\big(\theta_0\theta_1+\theta_1\theta_2+\theta_2\theta_3\big).
Como \theta_3=0,
\gamma_1=\sigma_a^{2}\big(1\cdot0,7+0,7\cdot0,3\big) =\sigma_a^{2}\big(0,7+0,21\big) =\sigma_a^{2}\cdot0,91.
  • Para k=2:
\gamma_2=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{2}\theta_j\theta_{j+2} =\sigma_a^{2}\big(\theta_0\theta_2+\theta_1\theta_3+\theta_2\theta_4\big).
Com \theta_3=\theta_4=0,
\gamma_2=\sigma_a^{2}\big(1\cdot0,3\big) =\sigma_a^{2}\cdot0,3.
  • Para k\ge3: todas as somas envolvem pelo menos um \theta_m com m\ge3 e portanto são zero. Logo
\gamma_k=0\quad\text{para }k\ge3.

Passo 5

Cálculo das autocorrelações \rho_k e interpretação.
Definição: \rho_k=\dfrac{\gamma_k}{\gamma_0}. Usando os valores obtidos:
  • \rho_0=1 por definição.
  • \rho_1=\dfrac{\gamma_1}{\gamma_0}=\dfrac{0,91\,\sigma_a^{2}}{1,58\,\sigma_a^{2}}=\dfrac{0,91}{1,58}\approx0,576.
  • \rho_2=\dfrac{\gamma_2}{\gamma_0}=\dfrac{0,3\,\sigma_a^{2}}{1,58\,\sigma_a^{2}}=\dfrac{0,3}{1,58}\approx0,1899\approx0,190.
  • Para k\ge3: \rho_k=0.
Interpretação para o gráfico: o gráfico da fac \rho_k (para k=0,1,2,\ldots) é um gráfico de barras (ou sequência pontual) com valores
\rho_0=1,\quad \rho_1\approx0,576,\quad \rho_2\approx0,190,\quad \rho_k=0\\ \text{para }k\ge3.
Ou seja, a autocorrelação é não nula somente nos lags até 2 e zera depois — comportamento típico de um MA(2).

Resposta

(a) MA(2). O processo é estacionário e invertível.
(b) \gamma_0=\sigma_a^{2}\cdot1,58,\quad \gamma_1=\sigma_a^{2}\cdot0,91,\quad \gamma_2=\sigma_a^{2}\cdot0,3,\quad \gamma_k=0 para k\ge3.
(c) \rho_0=1,\quad \rho_1=\dfrac{0,91}{1,58}\approx0,576,\quad \rho_2=\dfrac{0,3}{1,58}\approx0,190,\quad \rho_k=0 para k\ge3.

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