(1,5 pontos) Suponha o modelo AR(1), com
.
a) Estimar o paråmetro o utilizando o método de mínimos quadrados condicional a
.
b) Suponha a série temporal:
1
2
3
4
5
0.6
-0.5
0.4
-0.3
-0.2
Encontre as estimativas
e
. Utilize
.
a) Estimar o paråmetro o utilizando o método de mínimos quadrados condicional a
b) Suponha a série temporal:
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
0.6 | -0.5 | 0.4 | -0.3 | -0.2 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o problema pede e os dados que ele fornece.
Perguntas:
- (a) Estimar o parâmetro
do modelo AR(1) usando o método de mínimos quadrados condicionais a . - (b) Com a série dada, calcular
e , usando .
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
Aqui
. O modelo é, para
,
com
.
Passo 2
Derivar a fórmula do estimador condicional por mínimos quadrados (explicação didática).
-
Objetivo do método: como estamos condicionando em
, tratamos como dado e estimamos minimizando a soma dos quadrados dos resíduos para os instantes . -
Definir a soma dos quadrados dos resíduos (função de
):
Explicação do que aparece aqui: a cada
calculamos a diferença entre o valor observado
e o valor previsto
; elevamos ao quadrado e somamos para todos os
disponíveis (exceto
, porque para prever
já usamos
).
- Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a e igualamos a zero:
Passos da derivada: usar regra da cadeia; cada termo gera
. Somando e igualando a zero dá a equação normal.
- Resolver para
:
Interpretação: é o coeficiente de regressão obtido quando regredimos
em
sem intercepto (porque
).
- Resíduos estimados e soma de quadrados dos resíduos:
- Estimador da variância dos ruídos (usando a fórmula pedida):
Observação: aqui está sendo usado denominador
conforme enunciado (às vezes em AR(1) usa-se
, mas seguir o que foi pedido).
Passo 3
Calcular
com os números dados (passo-a-passo aritmético).
Vou calcular os somatórios que aparecem na fórmula:
Calcular termo a termo (usei os valores da tabela):
Somando:
Agora
:
Somando:
Assim a estimativa é
Para facilitar leitura, vou usar
.
Passo 4
Calcular os resíduos
,
e
(cálculo passo a passo).
Primeiro os resíduos para
:
Agora os quadrados e a soma
:
Somando:
Verificação alternativa (fórmula útil, não obrigatória):
que bate (diferenças pequenas por arredondamento).
Finalmente,