(1,5 pontos) Suponha o modelo AR(1), com \mu=0.
a) Estimar o paråmetro o utilizando o método de mínimos quadrados condicional a Z_{1}.
b) Suponha a série temporal:
t 1 2 3 4 5
Z_{t} 0.6 -0.5 0.4 -0.3 -0.2
Encontre as estimativas \hat{\varphi} e \hat{\sigma}_{a}^{2}. Utilize \hat{\sigma}_{a}^{2}= S Q(\hat{\varphi}) /(n-1).

Passo 1

Vou listar claramente o que o problema pede e os dados que ele fornece.
Perguntas:
  • (a) Estimar o parâmetro \varphi do modelo AR(1) usando o método de mínimos quadrados condicionais a Z_{1}.
  • (b) Com a série dada, calcular \hat{\varphi} e \hat{\sigma}_{a}^{2}, usando \hat{\sigma}_{a}^{2} = \dfrac{SQ(\hat{\varphi})}{n-1}.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline Z_t & 0{,}6 & -0{,}5 & 0{,}4 & -0{,}3 & -0{,}2 \end{array}
Aqui n=5. O modelo é, para t=2,\dots,n,
Z_t = \varphi Z_{t-1} + a_t,
com \mu=0.

Passo 2

Derivar a fórmula do estimador condicional por mínimos quadrados (explicação didática).
  • Objetivo do método: como estamos condicionando em Z_1, tratamos Z_1 como dado e estimamos \varphi minimizando a soma dos quadrados dos resíduos para os instantes t=2,\dots,n.
  • Definir a soma dos quadrados dos resíduos (função de \varphi):
S(\varphi)=\sum_{t=2}^{n} \bigl(Z_t - \varphi Z_{t-1}\bigr)^2.
Explicação do que aparece aqui: a cada t calculamos a diferença entre o valor observado Z_t e o valor previsto \varphi Z_{t-1}; elevamos ao quadrado e somamos para todos os t disponíveis (exceto t=1, porque para prever Z_2 já usamos Z_1).
  • Para encontrar o mínimo, derivamos S(\varphi) em relação a \varphi e igualamos a zero:
\frac{dS}{d\varphi} = \frac{d}{d\varphi}\sum_{t=2}^n \bigl(Z_t - \varphi Z_{t-1}\bigr)^2 = -2\sum_{t=2}^n Z_{t-1}\bigl(Z_t - \varphi Z_{t-1}\bigr) = 0.
Passos da derivada: usar regra da cadeia; cada termo gera -2Z_{t-1}(Z_t-\varphi Z_{t-1}). Somando e igualando a zero dá a equação normal.
  • Resolver para \varphi:
\sum_{t=2}^n Z_{t-1}Z_t - \varphi\sum_{t=2}^n Z_{t-1}^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \hat{\varphi} = \frac{\sum_{t=2}^n Z_{t}Z_{t-1}}{\sum_{t=2}^n Z_{t-1}^2}.
Interpretação: é o coeficiente de regressão obtido quando regredimos Z_t em Z_{t-1} sem intercepto (porque \mu=0).
  • Resíduos estimados e soma de quadrados dos resíduos:
\hat{a}_t = Z_t - \hat{\varphi}\,Z_{t-1},\quad t=2,\dots,n,
SQ(\hat{\varphi})=\sum_{t=2}^n \hat{a}_t^{\,2}.
  • Estimador da variância dos ruídos (usando a fórmula pedida):
\hat{\sigma}_a^{2}=\frac{SQ(\hat{\varphi})}{n-1}.
Observação: aqui está sendo usado denominador n-1 conforme enunciado (às vezes em AR(1) usa-se n-2, mas seguir o que foi pedido).

Passo 3

Calcular \hat{\varphi} com os números dados (passo-a-passo aritmético).
Vou calcular os somatórios que aparecem na fórmula:
S_{xy}=\sum_{t=2}^n Z_t Z_{t-1},\qquad S_{xx}=\sum_{t=2}^n Z_{t-1}^2.
Calcular termo a termo (usei os valores da tabela):
\begin{aligned} Z_2 Z_1 &= (-0{,}5)(0{,}6) = -0{,}30,\\\ Z_3 Z_2 &= (0{,}4)(-0{,}5) = -0{,}20,\\\ Z_4 Z_3 &= (-0{,}3)(0{,}4) = -0{,}12,\\\ Z_5 Z_4 &= (-0{,}2)(-0{,}3) = 0{,}06. \end{aligned}
Somando:
S_{xy} = -0{,}30 - 0{,}20 - 0{,}12 + 0{,}06 = -0{,}56.
Agora S_{xx}:
\begin{aligned} Z_1^2 &= (0{,}6)^2 = 0{,}36,\\\ Z_2^2 &= (-0{,}5)^2 = 0{,}25,\\\ Z_3^2 &= (0{,}4)^2 = 0{,}16,\\\ Z_4^2 &= (-0{,}3)^2 = 0{,}09. \end{aligned}
Somando:
S_{xx}=0{,}36+0{,}25+0{,}16+0{,}09 = 0{,}86.
Assim a estimativa é
\hat{\varphi} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-0{,}56}{0{,}86} \approx -0{,}6511628.
Para facilitar leitura, vou usar \hat{\varphi}\approx -0{,}6512.

Passo 4

Calcular os resíduos \hat{a}_t, SQ(\hat{\varphi}) e \hat{\sigma}_a^{2} (cálculo passo a passo).
Primeiro os resíduos para t=2,3,4,5:
\begin{aligned} \hat{a}_2 &= Z_2 - \hat{\varphi} Z_1 = -0{,}5 - (-0{,}6511628)(0{,}6) = -0{,}5 + 0{,}3906977 = -0{,}1093023,\\[4pt] \hat{a}_3 &= Z_3 - \hat{\varphi} Z_2 = 0{,}4 - (-0{,}6511628)(-0{,}5) = 0{,}4 - 0{,}3255814 = 0{,}0744186,\\[4pt] \hat{a}_4 &= Z_4 - \hat{\varphi} Z_3 = -0{,}3 - (-0{,}6511628)(0{,}4) = -0{,}3 + 0{,}2604651 = -0{,}0395349,\\[4pt] \hat{a}_5 &= Z_5 - \hat{\varphi} Z_4 = -0{,}2 - (-0{,}6511628)(-0{,}3) = -0{,}2 - 0{,}1953488 = -0{,}3953488. \end{aligned}
Agora os quadrados e a soma SQ(\hat{\varphi}):
\begin{aligned} \hat{a}_2^{\,2} &\approx ( -0{,}1093023)^2 = 0{,}0119416,\\\ \hat{a}_3^{\,2} &\approx ( 0{,}0744186)^2 = 0{,}0055370,\\\ \hat{a}_4^{\,2} &\approx ( -0{,}0395349)^2 = 0{,}0015629,\\\ \hat{a}_5^{\,2} &\approx ( -0{,}3953488)^2 = 0{,}1562949. \end{aligned}
Somando:
SQ(\hat{\varphi}) \approx 0{,}0119416 + 0{,}0055370 + 0{,}0015629 + 0{,}1562949 = 0{,}1753364.
Verificação alternativa (fórmula útil, não obrigatória):
SQ(\hat{\varphi})=\sum_{t=2}^n Z_t^2 - \frac{(\sum_{t=2}^n Z_tZ_{t-1})^2}{\sum_{t=2}^n Z_{t-1}^2} =0{,}54 - \frac{(-0{,}56)^2}{0{,}86}\approx 0{,}17558,
que bate (diferenças pequenas por arredondamento).
Finalmente,
\hat{\sigma}_a^{2}=\frac{SQ(\hat{\varphi})}{n-1}=\frac{0{,}1753364}{4}\approx 0{,}0438341.]

Resposta

\hat{\varphi}\approx -0{,}6512
\hat{\sigma}_{a}^{2}\approx 0{,}04383

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