(2,5 pontos) As observações
representam parte de uma série temporal com os seguintes valores:
98
99
100
101
102
103
63
69
70
68
67
73
Ajustou-se o seguinte modelo:
Ondeat éRB ~
.
a) Encontre a funçāo de previsão do modelo acima,
,para
.
b) Calcule as previsões para
e
, e
c) Construa os seus respectivos intervalos, com
de confiança
.
d) Suponha a nova observaçāo
. Encontre as previsōes atualizadas
para
, utilizando:
, e construa os intervalos de confiança, com
, para
e
.
Obs1.: Utilize
.
Obs2::
, onde
e
.
|
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98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 |
|
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63 | 69 | 70 | 68 | 67 | 73 |
a) Encontre a funçāo de previsão do modelo acima,
b) Calcule as previsões para
c) Construa os seus respectivos intervalos, com
d) Suponha a nova observaçāo
Obs2::
Passo 1
Vou explicitar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números da tabela e as observações dadas pelo enunciado).
- Observações disponíveis:
-
- Modelo ajustado (para as diferenças):
onde é ruído branco . Logo . - Observações/assunções extras dadas:
-
(usar esses valores nas previsões iniciais). - Fórmula da variância do erro de previsão (para a série das diferenças) dada por
com para .
-
- O que o enunciado pede:
(a) Encontrar a função de previsãopara (forma geral).
(b) Calcular previsões numéricas parausando os dados até e .
(c) Construir intervalos de confiança de(usar ) para essas previsões.
(d) Supondo que a nova observação seja, atualizar previsões para (usando a fórmula indicada) e construir intervalos de confiança de (usar ) para e .
Passo 2
Como raciocinar para prever neste modelo (ideia prática e intuitiva):
- O modelo está escrito para as diferenças
e é um MA(2) em : com . - Regra prática para previsões multi-passos de um processo com ruído
(ruído futuro = 0 em previsão): para horizontes futuros, colocamos para (esperança condicional) e usamos apenas os já conhecidos/estimados. - Primeiro prevemos as diferenças
passo a passo; depois somamos as diferenças previstas para obter . - Vou mostrar passo a passo a expressão analítica de
e então a de .
Passo 3
Derivando as previsões das diferenças
(para um instante genérico
, previsão feita no tempo
):
- Para
: pela definição do modelo, Na previsão feita em , é futuro e tem esperança zero; então - Para
: Como são futuros com esperança zero, - Para
: todos os que aparecem são com índice , logo têm esperança zero e
Agora a previsão da série
(acumulando as diferenças previstas):
Substituindo as expressões acima obtemos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Observação intuitiva: após dois passos as previsões ficam constantes (efeito do MA(2) nas diferenças).
Passo 4
Aplicando ao caso numérico (previsões feitas no tempo
). Temos
e o enunciado manda usar
. Então, substituindo na fórmula:
- Para
(previsão de ): - Para
(previsão de ): - Para
( ) as previsões permanecem iguais a .
Logo, numericamente,
Passo 5
Agora a variância do erro de previsão e os graus de incerteza. Primeiro calculamos os
dados
(lembre: o modelo é
):
-
-
- Para
:
A variância do erro de previsão para a série acumulada
no horizonte
(resultado padrão para um processo integrado com representação em diferenças) é
com
. Vou calcular para
(correspondem a
).
-
: soma só -
: termos -
: termos -
: termos
(Arredondei os SEs às 3 casas decimais para clareza.)
Passo 6
Construção dos intervalos de confiança de
(usar
). Fórmula do intervalo para
:
.
- Para
( ): - Para
( ): - Para
( ): - Para
( ):
Passo 7
Parte (d): nova observação
. Primeiro calcule o resíduo
(no instante
sabemos
e os
anteriores estimados):
-
- Pelo modelo,
Usando , temos
Agora previsões a partir do tempo
(usando as fórmulas do Passo 3 com
,
,
):
- Para
(previsão de feita em ): Logo - Para
(previsão de feita em ): Assim
Intervalos de
para essas previsões (usar
). As variâncias/SEs para horizontes
a partir de
são as mesmas calculadas antes:
.
- Intervalo
para : - Intervalo
para :
Resposta
(a) Para
:
e
isto é
(b) Com
:
(c) Intervalos de
(
):
(d) Se
então
. Previsões atualizadas feitas em
:
Intervalos de
(
):