(2,5 pontos) As observações Z_{98}, Z_{99}, \ldots, Z_{103} representam parte de uma série temporal com os seguintes valores:
t 98 99 100 101 102 103
Z_{t} 63 69 70 68 67 73
Ajustou-se o seguinte modelo:
\Delta Z_{t}=a_{t}-0,9 a_{t-1}+0,2 a_{t-2} .
Ondeat éRB ~ N(0,1).
a) Encontre a funçāo de previsão do modelo acima, \widehat{Z}_{t}(h),para h \geqq 1.
b) Calcule as previsões para Z_{104}, Z_{105}, Z_{106} e Z_{107}, e
c) Construa os seus respectivos intervalos, com 95 \% de confiança (20,975=1,96).
d) Suponha a nova observaçāo Z_{104}=74. Encontre as previsōes atualizadas \widehat{Z}_{104}(h) para h=1,2, utilizando: \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_{t}(h+1)+v_{h} a_{t+1}, e construa os intervalos de confiança, com 1-a= 0,90\left(z_{0,950}=1,64\right), para Z_{105} e Z_{106}.
Obs1.: Utilize \widehat{a}_{102}=\widehat{a}_{103}=0.
Obs2:: \left.\operatorname{Var} \mid \epsilon_{t}(h)\right]=\sigma_{a}^{2} \sum_{j=0}^{h-1} \psi_{j}^{2}, h \geq 1, onde \psi_{0}=1, \psi_{1}=1-\theta_{1} e \psi_{j}=1-\theta_{1}-\theta_{2}, j \geq 2.

Passo 1

Vou explicitar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números da tabela e as observações dadas pelo enunciado).
  • Observações disponíveis:
    • Z_{98}=63,\; Z_{99}=69,\; Z_{100}=70,\; Z_{101}=68,\; Z_{102}=67,\; Z_{103}=73.
  • Modelo ajustado (para as diferenças): \Delta Z_{t}=a_{t}-0,9\,a_{t-1}+0,2\,a_{t-2},onde a_t é ruído branco a_t\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,1). Logo \sigma_a^2=1.
  • Observações/assunções extras dadas:
    • \widehat{a}_{102}=\widehat{a}_{103}=0 (usar esses valores nas previsões iniciais).
    • Fórmula da variância do erro de previsão (para a série das diferenças) dada por \operatorname{Var}\big(\varepsilon_t(h)\big)=\sigma_a^2\sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^2,\quad h\ge 1,com \psi_0=1,\;\psi_1=1-\theta_1,\;\psi_j=1-\theta_1-\theta_2 para j\ge2.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Encontrar a função de previsão \widehat{Z}_t(h) para h\ge1 (forma geral).
    (b) Calcular previsões numéricas para Z_{104},Z_{105},Z_{106},Z_{107} usando os dados até t=103 e \widehat a_{102}=\widehat a_{103}=0.
    (c) Construir intervalos de confiança de 95\% (usar z_{0,975}=1,96) para essas previsões.
    (d) Supondo que a nova observação seja Z_{104}=74, atualizar previsões \widehat Z_{104}(h) para h=1,2 (usando a fórmula indicada) e construir intervalos de confiança de 90\% (usar z_{0,95}=1,64) para Z_{105} e Z_{106}.

Passo 2

Como raciocinar para prever neste modelo (ideia prática e intuitiva):
  • O modelo está escrito para as diferenças \Delta Z_t=Z_t-Z_{t-1} e é um MA(2) em \Delta Z_t: \Delta Z_t=a_t+\theta_1 a_{t-1}+\theta_2 a_{t-2} com \theta_1=-0{,}9,\;\theta_2=0{,}2.
  • Regra prática para previsões multi-passos de um processo com ruído a_t (ruído futuro = 0 em previsão): para horizontes futuros, colocamos a_{t+h}=0 para h\ge1 (esperança condicional) e usamos apenas os a já conhecidos/estimados.
  • Primeiro prevemos as diferenças \Delta Z_{t+h} passo a passo; depois somamos as diferenças previstas para obter \widehat Z_t(h)=Z_t+\sum_{j=1}^h \widehat{\Delta Z_t}(j).
  • Vou mostrar passo a passo a expressão analítica de \widehat{\Delta Z_t}(h) e então a de \widehat Z_t(h).

Passo 3

Derivando as previsões das diferenças \widehat{\Delta Z_t}(h) (para um instante genérico t, previsão feita no tempo t):
  • Para h=1: pela definição do modelo, \Delta Z_{t+1}=a_{t+1}-0,9\,a_{t}+0,2\,a_{t-1}.Na previsão feita em t, a_{t+1} é futuro e tem esperança zero; então \widehat{\Delta Z_t}(1)=\mathbb{E}[\Delta Z_{t+1}\mid \mathcal{F}_t] = -0,9\,a_{t}+0,2\,a_{t-1}.
  • Para h=2: \Delta Z_{t+2}=a_{t+2}-0,9\,a_{t+1}+0,2\,a_{t}.Como a_{t+1},a_{t+2} são futuros com esperança zero, \widehat{\Delta Z_t}(2)=0{,}2\,a_{t}.
  • Para h\ge3: \Delta Z_{t+h}=a_{t+h}-0,9\,a_{t+h-1}+0,2\,a_{t+h-2},todos os a que aparecem são com índice >t, logo têm esperança zero e \widehat{\Delta Z_t}(h)=0\quad\text{para }h\ge3.
Agora a previsão da série Z (acumulando as diferenças previstas):
\widehat{Z_t}(h)=Z_t+\sum_{j=1}^{h}\widehat{\Delta Z_t}(j).
Substituindo as expressões acima obtemos:
  • Para h=1: \widehat{Z_t}(1)=Z_t-0,9\,a_{t}+0,2\,a_{t-1}.
  • Para h=2: \widehat{Z_t}(2)=Z_t+\widehat{\Delta Z_t}(1)+\widehat{\Delta Z_t}(2) =Z_t-0,9\,a_{t}+0,2\,a_{t-1}+0,2\,a_{t} =Z_t-0,7\,a_{t}+0,2\,a_{t-1}.
  • Para h\ge3: \widehat{Z_t}(h)=\widehat{Z_t}(2)=Z_t-0,7\,a_{t}+0,2\,a_{t-1}.
Observação intuitiva: após dois passos as previsões ficam constantes (efeito do MA(2) nas diferenças).

Passo 4

Aplicando ao caso numérico (previsões feitas no tempo t=103). Temos Z_{103}=73 e o enunciado manda usar \widehat a_{102}=\widehat a_{103}=0. Então, substituindo na fórmula:
  • Para h=1 (previsão de Z_{104}): \widehat{Z}_{103}(1)=Z_{103}-0{,}9\,\widehat a_{103}+0{,}2\,\widehat a_{102} =73-0{,}9\cdot 0 +0{,}2\cdot 0 =73.
  • Para h=2 (previsão de Z_{105}): \widehat{Z}_{103}(2)=Z_{103}-0{,}7\,\widehat a_{103}+0{,}2\,\widehat a_{102} =73-0{,}7\cdot 0 +0{,}2\cdot 0 =73.
  • Para h\ge3 ( Z_{106},Z_{107},\dots) as previsões permanecem iguais a 73.
    Logo, numericamente,
\widehat Z_{104}=\widehat Z_{105}=\widehat Z_{106}=\widehat Z_{107}=73.

Passo 5

Agora a variância do erro de previsão e os graus de incerteza. Primeiro calculamos os \psi_j dados \theta_1=-0{,}9,\;\theta_2=0{,}2 (lembre: o modelo é \Delta Z_t=a_t+\theta_1 a_{t-1}+\theta_2 a_{t-2}):
  • \psi_0=1.
  • \psi_1=1-\theta_1=1-(-0{,}9)=1{,}9.
  • Para j\ge2: \psi_j=1-\theta_1-\theta_2=1-(-0{,}9)-0{,}2=1{,}7.
A variância do erro de previsão para a série acumulada Z no horizonte h (resultado padrão para um processo integrado com representação em diferenças) é
\operatorname{Var}\big(Z_{t+h}-\widehat Z_t(h)\big) =\sigma_a^2\sum_{j=0}^{h-1}(h-j)\,\psi_j^2,
com \sigma_a^2=1. Vou calcular para h=1,2,3,4 (correspondem a Z_{104},Z_{105},Z_{106},Z_{107}).
  • h=1: soma só j=0
    \operatorname{Var}_1 = (1-0)\psi_0^2 = 1\cdot 1^2 = 1.
    \mathrm{SE}_1=\sqrt{1}=1.
  • h=2: termos j=0,1
    \operatorname{Var}_2 = (2-0)\psi_0^2 + (2-1)\psi_1^2 = 2\cdot1^2 + 1\cdot 1{,}9^2 = 2 + 3{,}61 =5{,}61.
    \mathrm{SE}_2=\sqrt{5{,}61}\approx 2{,}369.
  • h=3: termos j=0,1,2
    \operatorname{Var}_3 = 3\cdot1^2 + 2\cdot1{,}9^2 + 1\cdot1{,}7^2 =3 + 2\cdot3{,}61 + 2{,}89 =3 +7{,}22 +2{,}89 =13{,}11.
    \mathrm{SE}_3=\sqrt{13{,}11}\approx 3{,}622.
  • h=4: termos j=0,1,2,3
    \operatorname{Var}_4 = 4\cdot1^2 + 3\cdot1{,}9^2 + 2\cdot1{,}7^2 + 1\cdot1{,}7^2 =4 + 3\cdot3{,}61 + 2\cdot2{,}89 +2{,}89 =4 +10{,}83 +5{,}78 +2{,}89 =23{,}5.
    \mathrm{SE}_4=\sqrt{23{,}5}\approx 4{,}847.
(Arredondei os SEs às 3 casas decimais para clareza.)

Passo 6

Construção dos intervalos de confiança de 95\% (usar z_{0{,}975}=1{,}96). Fórmula do intervalo para \widehat Z: \widehat Z \pm z\cdot \mathrm{SE}.
  • Para Z_{104} ( h=1): 73 \pm 1{,}96\cdot 1 \Rightarrow [73-1{,}96,\;73+1{,}96]=[71{,}04,\;74{,}96].
  • Para Z_{105} ( h=2): 73 \pm 1{,}96\cdot 2{,}369 \Rightarrow 73 \pm 4{,}646 \Rightarrow [68{,}354,\;77{,}646]\\ (\approx[68{,}35,\;77{,}65]).
  • Para Z_{106} ( h=3): 73 \pm 1{,}96\cdot 3{,}622 \Rightarrow 73 \pm 7{,}099 \Rightarrow [65{,}901,\;80{,}099]\\ (\approx[65{,}90,\;80{,}10]).
  • Para Z_{107} ( h=4): 73 \pm 1{,}96\cdot 4{,}847 \Rightarrow 73 \pm 9{,}497 \Rightarrow [63{,}503,\;82{,}497]\\ (\approx[63{,}50,\;82{,}50]).

Passo 7

Parte (d): nova observação Z_{104}=74. Primeiro calcule o resíduo \widehat a_{104} (no instante t=104 sabemos Z_{104} e os a anteriores estimados):
  • \Delta Z_{104}=Z_{104}-Z_{103}=74-73=1.
  • Pelo modelo, \Delta Z_{104}=a_{104}-0{,}9 a_{103}+0{,}2 a_{102}.Usando \widehat a_{102}=\widehat a_{103}=0, temos \widehat a_{104}=\Delta Z_{104}+0{,}9\widehat a_{103}-0{,}2\widehat a_{102}=1+0-0=1.
Agora previsões a partir do tempo t=104 (usando as fórmulas do Passo 3 com t=104, Z_{104}=74, \widehat a_{104}=1,\;\widehat a_{103}=0):
  • Para h=1 (previsão de Z_{105} feita em t=104): \widehat{\Delta Z_{104}}(1)=-0{,}9\,a_{104}+0{,}2\,a_{103}=-0{,}9\cdot 1 +0{,}2\cdot 0 = -0{,}9.Logo \widehat Z_{104}(1)=Z_{104}+\widehat{\Delta Z_{104}}(1)=74-0{,}9=73{,}1.
  • Para h=2 (previsão de Z_{106} feita em t=104): \widehat{\Delta Z_{104}}(2)=0{,}2\,a_{104}=0{,}2\cdot 1 =0{,}2.Assim \widehat Z_{104}(2)=Z_{104}+\widehat{\Delta Z_{104}}(1)+\widehat{\Delta Z_{104}}(2) =74-0{,}9+0{,}2=74-0{,}7=73{,}3.
Intervalos de 90\% para essas previsões (usar z_{0{,}95}=1{,}64). As variâncias/SEs para horizontes h=1,2 a partir de t=104 são as mesmas calculadas antes: \mathrm{SE}_1=1,\;\mathrm{SE}_2\approx2{,}369.
  • Intervalo 90\% para Z_{105}: 73{,}1 \pm 1{,}64\cdot 1 \Rightarrow [73{,}1-1{,}64,\;73{,}1+1{,}64]=[71{,}46,\;74{,}74].
  • Intervalo 90\% para Z_{106}: 73{,}3 \pm 1{,}64\cdot 2{,}369 \Rightarrow 73{,}3 \pm 3{,}883 \Rightarrow [69{,}417,\;77{,}183]\\ (\approx[69{,}42,\;77{,}18]).

Resposta

(a) Para h\ge1:
\widehat{\Delta Z_t}(1)=-0{,}9\,a_t+0{,}2\,a_{t-1},\qquad \widehat{\Delta Z_t}(2)=0{,}2\,a_t,\qquad \widehat{\Delta Z_t}(h)=0\\ \text{para }h\ge3,
e
\widehat{Z_t}(h)=Z_t+\sum_{j=1}^h\widehat{\Delta Z_t}(j),
isto é
\widehat{Z_t}(1)=Z_t-0{,}9\,a_t+0{,}2\,a_{t-1},\quad \widehat{Z_t}(2)=Z_t-0{,}7\,a_t+0{,}2\,a_{t-1},\quad \widehat{Z_t}(h)=\widehat{Z_t}(2)\\ \text{para }h\ge3.
(b) Com t=103,\\ Z_{103}=73,\\ \widehat a_{102}=\widehat a_{103}=0:
\widehat Z_{104}=73,\quad \widehat Z_{105}=73,\quad \widehat Z_{106}=73,\quad \widehat Z_{107}=73.
(c) Intervalos de 95\% ( z_{0{,}975}=1{,}96):
Z_{104}\in[71{,}04,\;74{,}96],
Z_{105}\in[68{,}35,\;77{,}65],
Z_{106}\in[65{,}90,\;80{,}10],
Z_{107}\in[63{,}50,\;82{,}50].
(d) Se Z_{104}=74 então \widehat a_{104}=1. Previsões atualizadas feitas em t=104:
\widehat Z_{104}(1)=\widehat Z_{105}=73{,}1,\qquad \widehat Z_{104}(2)=\widehat Z_{106}=73{,}3.
Intervalos de 90\% ( z_{0{,}95}=1{,}64):
Z_{105}\in[71{,}46,\;74{,}74],
Z_{106}\in[69{,}42,\;77{,}18].

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