Em um lote de 100 peças, existem:
- 80 peças não-defeituosas
- 20 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acàso DUAS peças do lote:
a primeira peça é defeituosa
segunda peça é defeituosa
Calcule
sem reposição
Calcule
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Dados:
- Total de peças:
. - Peças não-defeituosas:
. - Peças defeituosas:
.
Definição dos eventos (conforme o enunciado):
-
. -
.
O que é pedido: calcular
no experimento de extrair duas peças sem reposição.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: probabilidade condicionada e a fórmula da probabilidade total.
Explicando a ideia (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento):
- Probabilidade condicionada
é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu. A definição é
- A fórmula da probabilidade total (quando particionamos o espaço pelo evento
e seu complementar ) diz:
Aqui usamos essa fórmula porque o evento “a segunda peça é defeituosa” pode ocorrer em dois cenários mutuamente exclusivos: (i) a primeira foi defeituosa (
) ou (ii) a primeira foi não-defeituosa (
). Somando as probabilidades condicionais ponderadas obtemos
.
Passo 3
Calcular as probabilidades necessárias peça por peça (contando que não há reposição).
- Probabilidade da primeira ser defeituosa:
- Probabilidade da primeira ser não-defeituosa (complemento):
- Probabilidade da segunda ser defeituosa dado que a primeira foi defeituosa:
- Se a primeira foi defeituosa, restam
peças defeituosas entre peças totais.
- Probabilidade da segunda ser defeituosa dado que a primeira foi não-defeituosa:
- Se a primeira foi não-defeituosa, ainda há
defeituosas entre peças.
Passo 4
Aplicar a fórmula da probabilidade total e simplificar passo a passo.
Usando
substituindo os valores:
Fatorando
em comum:
Como
, obtemos
Passo 5
Interpretação intuitiva (uma lição prática para a prova):
- Sem reposição, a posição da peça extraída não altera a probabilidade de ser defeituosa — cada peça do lote é igualmente provável de aparecer em qualquer posição de extração. Portanto a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa é simplesmente a proporção inicial de defeituosas no lote, isto é
. Esse raciocínio curto é útil na prova quando quiser rapidez, mas sempre é bom saber fazer a conta com probabilidade total (como mostramos) para justificar.
Força aí — você já tem o caminho exato e também a intuição. Dá para anotar isso rapidinho na prova.