Em um lote de 100 peças, existem:
  • 80 peças não-defeituosas
  • 20 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acàso DUAS peças do lote:
A=\{ a primeira peça é defeituosa \}\
B=\{a segunda peça é defeituosa \}\
Calcule P(B) sem reposição

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Dados:
  • Total de peças: 100.
  • Peças não-defeituosas: 80.
  • Peças defeituosas: 20.
Definição dos eventos (conforme o enunciado):
  • A=\{\text{a primeira peça é defeituosa}\}çé.
  • B=\{\text{a segunda peça é defeituosa}\}çé.
O que é pedido: calcular P(B) no experimento de extrair duas peças sem reposição.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: probabilidade condicionada e a fórmula da probabilidade total.
Explicando a ideia (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento):
  • Probabilidade condicionada P(X\mid Y) é a probabilidade de X ocorrer sabendo que Y ocorreu. A definição é
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
  • A fórmula da probabilidade total (quando particionamos o espaço pelo evento A e seu complementar A^c) diz:
P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c).
Aqui usamos essa fórmula porque o evento “a segunda peça é defeituosa” pode ocorrer em dois cenários mutuamente exclusivos: (i) a primeira foi defeituosa ( A) ou (ii) a primeira foi não-defeituosa ( A^c). Somando as probabilidades condicionais ponderadas obtemos P(B).

Passo 3

Calcular as probabilidades necessárias peça por peça (contando que não há reposição).
  1. Probabilidade da primeira ser defeituosa:
P(A)=\frac{20}{100}.
  1. Probabilidade da primeira ser não-defeituosa (complemento):
P(A^c)=\frac{80}{100}.
  1. Probabilidade da segunda ser defeituosa dado que a primeira foi defeituosa:
  • Se a primeira foi defeituosa, restam 20-1=19 peças defeituosas entre 99 peças totais.
P(B\mid A)=\frac{19}{99}.
  1. Probabilidade da segunda ser defeituosa dado que a primeira foi não-defeituosa:
  • Se a primeira foi não-defeituosa, ainda há 20 defeituosas entre 99 peças.
P(B\mid A^c)=\frac{20}{99}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da probabilidade total e simplificar passo a passo.
Usando
P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c),
substituindo os valores:
P(B)=\frac{20}{100}\cdot\frac{19}{99}+\frac{80}{100}\cdot\frac{20}{99}.
Fatorando \dfrac{20}{100\cdot99} em comum:
P(B)=\frac{20}{100\cdot99}\bigl(19+80\bigr).
Como 19+80=99, obtemos
P(B)=\frac{20}{100\cdot99}\cdot99=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 5

Interpretação intuitiva (uma lição prática para a prova):
  • Sem reposição, a posição da peça extraída não altera a probabilidade de ser defeituosa — cada peça do lote é igualmente provável de aparecer em qualquer posição de extração. Portanto a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa é simplesmente a proporção inicial de defeituosas no lote, isto é \dfrac{20}{100}. Esse raciocínio curto é útil na prova quando quiser rapidez, mas sempre é bom saber fazer a conta com probabilidade total (como mostramos) para justificar.
Força aí — você já tem o caminho exato e também a intuição. Dá para anotar isso rapidinho na prova.

Resposta

\displaystyle P(B)=\frac{1}{5}=0,2

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