Mostre que B=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} e B^{\prime}=\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\} são bases para P_{2}.
(b) Se (p)_{B} e (p)_{B^{\prime}} são as coordenadas de um polinômio p \in P_{2} nas respectivas bases, calcule uma matriz M tal que
(p)_{B^{\prime}}=M(p)_{B}
(c) Seja r(x)=10 p_{1}(x)-6 p_{2}(x)-2 p_{3}(x). Expresse r como combinação linear dos elementos da base B^{\prime}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço P_{2} (polinômios de grau <=2) e duas famílias de três polinômios cada:
Pede-se:
(a) mostrar que B=\{p_{1},p_{2},p_{3}\} e B'=\{q_{1},q_{2},q_{3}\} são bases de P_{2};
(b) achar a matriz M de mudança de coordenadas tal que (p)_{B'}=M\,(p)_{B};
(c) pegar r(x)=10p_{1}(x)-6p_{2}(x)-2p_{3}(x) e expressá-lo em B'.
Passo 2
Para ver que cada família é base basta escrever as colunas das coordenadas em relação à base canônica \{1,x,x^2\} e checar que o determinante é não nulo.
– Em B, a matriz de colunas \bigl[p_{1}\;p_{2}\;p_{3}\bigr] é