(8 pontos)
(a) Considere os polinômios
p_{1}(x)=1, \quad p_{2}(x)=1+x, \quad p_{3}(x)=1+x+x^{2}
e
q_{1}(x)=1-x, \quad q_{2}(x)=1-x^{2}, \quad q_{3}(x)=1+2 x+x^{2}
Mostre que B=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} e B^{\prime}=\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\} são bases para P_{2}.
(b) Se (p)_{B} e (p)_{B^{\prime}} são as coordenadas de um polinômio p \in P_{2} nas respectivas bases, calcule uma matriz M tal que
(p)_{B^{\prime}}=M(p)_{B}
(c) Seja r(x)=10 p_{1}(x)-6 p_{2}(x)-2 p_{3}(x). Expresse r como combinação linear dos elementos da base B^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço P_{2} (polinômios de grau <=2) e duas famílias de três polinômios cada:
p_{1}(x)=1,\quad p_{2}(x)=1+x,\quad p_{3}(x)=1+x+x^{2}
e
q_{1}(x)=1-x,\quad q_{2}(x)=1-x^{2},\quad q_{3}(x)=1+2x+x^{2}.
Pede-se:
(a) mostrar que B=\{p_{1},p_{2},p_{3}\} e B'=\{q_{1},q_{2},q_{3}\} são bases de P_{2};
(b) achar a matriz M de mudança de coordenadas tal que (p)_{B'}=M\,(p)_{B};
(c) pegar r(x)=10p_{1}(x)-6p_{2}(x)-2p_{3}(x) e expressá-lo em B'.

Passo 2

Para ver que cada família é base basta escrever as colunas das coordenadas em relação à base canônica \{1,x,x^2\} e checar que o determinante é não nulo.
– Em B, a matriz de colunas \bigl[p_{1}\;p_{2}\;p_{3}\bigr] é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
que tem \det=1\neq0, logo os p_i são linearmente independentes e geram P_2.
– Em B', a matriz \bigl[q_{1}\;q_{2}\;q_{3}\bigr] é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -1& 0 & 2\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
cujo determinante vale 4\neq0. Portanto q_1,q_2,q_3 também formam base de P_2.

Passo 3

Para achar M usamos que as colunas de M são as coordenadas de p_{1},p_{2},p_{3} na base B'. Resolvendo sistemas, obtemos
p_{1}= \tfrac12\,q_{1}+\tfrac14\,q_{2}+\tfrac14\,q_{3},\quad p_{2}=0\,q_{1}+\tfrac12\,q_{2}+\tfrac12\,q_{3},\quad p_{3}=\tfrac12\,q_{1}-\tfrac14\,q_{2}+\tfrac34\,q_{3}.
Assim
M=\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\ \tfrac14 & \tfrac12& -\tfrac14\\\ \tfrac14 & \tfrac12& \tfrac34 \end{pmatrix},
que satisfaz (p)_{B'}=M\,(p)_{B}.

Passo 4

Como r=10p_{1}-6p_{2}-2p_{3}, suas coordenadas em B são \bigl(10,-6,-2\bigr)^{T}. Logo
(r)_{B'}=M\begin{pmatrix}10\\\ -6\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso significa
r=4\,q_{1}+0\,q_{2}-2\,q_{3}.

Resposta

(a) Ambas as famílias são bases de P_{2} pois suas matrizes de coordenadas têm determinante não nulo.
(b)
M=\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\ \tfrac14 & \tfrac12& -\tfrac14\\\ \tfrac14 & \tfrac12& \tfrac34 \end{pmatrix}.
(c)
r=4\,q_{1}-2\,q_{3}.

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