[2] Calcule a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A=(2,4,0), B=(0,2,4) e C=(6,0,2).

Passo 1

O enunciado dá o triângulo de vértices A=(2,4,0), B=(0,2,4) e C=(6,0,2) e pede a altura relativa ao vértice B. Em geometria analítica em \mathbb{R}^3, essa altura é a distância de B à reta que passa por A e C, calculada por
\mathrm{dist}(B,AC) =\frac{\big\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}\big\|}{\|\overrightarrow{AC}\|}.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(6-2,\;0-4,\;2-0)=(4,-4,2),
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-2,\;2-4,\;4-0)=(-2,-2,4).

Passo 3

Calcular o produto vetorial
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 4&-4&2\\\\ -2&-2&4 \end{vmatrix} =(-12,\,-20,\,-16).

Passo 4

Determinar as normas
\big\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}\big\| =\sqrt{(-12)^2+(-20)^2+(-16)^2} =\sqrt{800}=20\sqrt{2},
\|\overrightarrow{AC}\| =\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2} =\sqrt{36}=6.

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância de ponto a reta:
\mathrm{altura} =\frac{20\sqrt{2}}{6} =\frac{10\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10\sqrt{2}}{3}

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