(6 pontos)
(a) Se
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -4 & 3 \end{array}\right)
resolva o sistema homogêneo A X=0.
(b) Encontre uma base e a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{4} das soluções de A X=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo A X = 0 em que
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] 2 & 1 & -1 & 1 \\[3pt] 5 & 2 & -4 & 3 \end{pmatrix},
e depois determinar uma base e a dimensão do espaço nulo (o subespaço de \mathbb{R}^4 formado pelas soluções). Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar todos os vetores X=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T que satisfazem A X=0.]

Passo 2

Aplicamos operações de linha para triangularizar A. Primeiro, fazemos
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, \quad L_3 \leftarrow L_3 - 5L_1.
Isso produz a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 & -3 & 1 \\[3pt] 0 & -3 & -9 & 3 \end{pmatrix}.
Em seguida, eliminamos o termo -3 na terceira linha:
L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 & -3 & 1 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Das duas primeiras linhas reduzidas, obtemos as equações:
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 - 3x_3 + x_4 = 0. \end{cases}
Escolhemos x_3 e x_4 como parâmetros livres: seja x_3 = s e x_4 = t.
Da segunda equação vem
x_2 = -3s + t.
Da primeira,
x_1 = -\,x_2 - x_3 = -(-3s + t) - s = 2s - t.

Passo 4

Logo a solução geral é
X = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2s - t\\\\ -3s + t\\\ s\\\ t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

As colunas
\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
são linearmente independentes e geram todo o espaço das soluções. Portanto, elas formam uma base do espaço nulo de A.

Resposta

Uma base do subespaço de soluções de A X=0 é
\left\{ \begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \right\},
e a dimensão desse subespaço é 2.

Exercícios relacionados