(6 pontos)
(a) Se
resolva o sistema homogêneo
.
(b) Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
das soluções de
.
(a) Se
(b) Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
em que
e depois determinar uma base e a dimensão do espaço nulo (o subespaço de
formado pelas soluções). Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar todos os vetores
que satisfazem
.]
Passo 2
Aplicamos operações de linha para triangularizar
. Primeiro, fazemos
Isso produz a matriz
Em seguida, eliminamos o termo
na terceira linha:
ficando
Passo 3
Das duas primeiras linhas reduzidas, obtemos as equações:
Escolhemos
e
como parâmetros livres: seja
e
.
Da segunda equação vem
Da segunda equação vem
Da primeira,
Passo 4
Logo a solução geral é
com
.
Passo 5
As colunas
são linearmente independentes e geram todo o espaço das soluções. Portanto, elas formam uma base do espaço nulo de
.
Resposta
Uma base do subespaço de soluções de
é
e a dimensão desse subespaço é
.