Verifique se os conjuntos dados com as operações adição e multiplicação abaixo definidas são espaços vetoriais
04) O conjunto \square^{2}=\{(a, b) / a, b \in \Re\} com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: (\mathrm{a}, \mathrm{b})+(\mathrm{c}, \mathrm{d})=(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{k}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=(\mathrm{ka}, \mathrm{kb}) \quad para quaisquer (\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{c}, \mathrm{d}) \in \Re^{2} e \mathrm{k} \in \Re.

Passo 1

O enunciado considera o conjunto \mathbb{R}^{2} com as operações não usuais
(a,b)+(c,d)=(a,b),
k\,(a,b)=(k\,a,\;k\,b),
para quaisquer (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2 e k\in\mathbb{R}.
Queremos checar se esses axiomas satisfazem todos os requisitos de um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Verificamos o axioma da comutatividade da adição. Tomemos dois vetores quaisquer
u=(a,b),\quad v=(c,d).
Pela definição dada,
u+v=(a,b),
v+u=(c,d).
Para ser comutativa, precisaríamos de
u+v = v+u,
ou seja, (a,b)=(c,d) para todo u e v. Mas, em geral, (a,b)\neq(c,d). Logo, a adição não é comutativa.

Passo 3

Como já falhou a comutatividade da adição, não faz sentido verificar os demais axiomas: basta um único contraexemplo para concluir que não se trata de um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto com essas operações não é um espaço vetorial, pois a adição não é comutativa.

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