Verifique se os conjuntos dados com as operações adição e multiplicação abaixo definidas são espaços vetoriais
04) O conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
para quaisquer
e
.
04) O conjunto
Passo 1
O enunciado considera o conjunto
com as operações não usuais
para quaisquer
e
Queremos checar se esses axiomas satisfazem todos os requisitos de um espaço vetorial sobre
Queremos checar se esses axiomas satisfazem todos os requisitos de um espaço vetorial sobre
Passo 2
Verificamos o axioma da comutatividade da adição. Tomemos dois vetores quaisquer
Pela definição dada,
Para ser comutativa, precisaríamos de
ou seja,
para todo
e
. Mas, em geral,
. Logo, a adição não é comutativa.
Passo 3
Como já falhou a comutatividade da adição, não faz sentido verificar os demais axiomas: basta um único contraexemplo para concluir que não se trata de um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto com essas operações não é um espaço vetorial, pois a adição não é comutativa.