( 2,5 pontos) Considere que uma população de ratos do campo, numa certa região rural, cresce ao mês a uma taxa proporcional a população atual, onde o fator de proporcionalidade é a constante r. Seus predadores matam N ratos por dia. Considerando que no início da contagem tínhamos 500 ratos e que sejam mortos 10 ratos por dia, determine r para que a população de ratos dobre em 60 dias. Quantos ratos devem ser mortos por dia para que a população de ratos seja extinta em 60 dias, usando a taxa de proporcionalidade r=0,714 ratos/ mês? Em ambos os casos, considere e \cong 2,7.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e as hipóteses que vou usar (peguei os números do enunciado).
  • População inicial: P(0)=500 ratos.
  • Crescimento natural proporcional à população com constante r (unidade: ratos por mês, ou melhor: taxa por mês).
  • Predadores matam N ratos por dia; vou converter para meses usando 30 dias por mês (hipótese padrão para esse tipo de exercício). Assim a retirada mensal é M=30N ratos por mês.
  • Tempo a considerar: 60 dias =2 meses.
  • Em ambos os itens vamos modelar a população P(t) (em meses) por uma equação diferencial do tipo crescimento proporcional menos remoção constante.
    O que o enunciado pede:
  1. Determinar r para que a população dobre em 2 meses quando N=10 ratos/dia.
  2. Para r=0{,}714 (ratos/ mês), determinar N (ratos/dia) para que a população seja extinta em 2 meses.
    Observação: devo usar e \cong 2{,}7 para aproximar exponenciais quando necessário.

Passo 2

Modelagem e solução geral da equação diferencial — aula rápida e direta.
  • A ideia física: taxa de variação da população = crescimento natural proporcional rP menos remoção constante M. Isso dá a ODE
\frac{dP}{dt} = rP - M,
onde t está em meses, r em (por mês) e M em ratos por mês.
  • Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante. Método para resolver: achar solução geral = solução da homogênea + uma particular.
    • Solução homogênea (quando M=0): \frac{dP}{dt}=rP tem solução P_h(t)=C e^{rt}.
    • Solução particular constante: buscar P_p constante tal que 0 = rP_p - M, logo P_p=\dfrac{M}{r} (isso é o equilíbrio onde nascimentos igualam mortes).
  • Portanto a solução geral é
P(t)=\frac{M}{r}+\Big(P(0)-\frac{M}{r}\Big)e^{rt}.
Explicação das variáveis:
  • P(t): população no instante t (meses).
  • P(0): população inicial (aqui 500).
  • M: remoção mensal =30N.
  • r: taxa proporcional mensal que queremos encontrar ou que é dada.
  • e^{rt}: função exponencial que descreve como a diferença da população em relação ao equilíbrio cresce/decai.

Passo 3

Primeira parte: encontrar r tal que a população dobre em 2 meses sabendo que N=10 ratos/dia.
  • Converter N para M: M=30N=30\cdot 10=300 ratos/mês.
  • Queremos P(2)=2P(0)=1000. Substituindo na solução:
1000=\frac{300}{r}+\Big(500-\frac{300}{r}\Big)e^{2r}.
  • Vamos manipular essa equação para obter uma forma conveniente. Defina A=\dfrac{300}{r}. Então
1000 = A + (500-A)e^{2r}.
Isolando o exponencial:
1000-A = (500-A)e^{2r}
e substituindo A=\dfrac{300}{r} (para recuperar r):
(500r-300)e^{2r}=1000r-300.
  • Essa equação é transcendental em r (aparece r dentro e fora do exponencial). Logo precisamos de solução numérica. Vou fazer uma busca numérica simples por tentativa e ajuste (método de tentativa/interpolaçao) — isso é suficiente na prova se justificar os passos e usar aproximações com e\cong2{,}7.
  • Testes rápidos (usar e^{x} aproximado com e\cong2{,}7 ou com valores tabelados):
    • Se r=0{,}5: e^{2r}=e^{1}\approx2{,}7. Então LHS (500\cdot0{,}5-300)e^{1}=(-50)\cdot2{,}7\approx-135. RHS =1000\cdot0{,}5-300=200. LHS<RHS negativamente → função é negativa.
    • Se r=1{,}0: e^{2}=e^{2}\approx(2{,}7)^2\approx7{,}29. LHS (500-300)\cdot7{,}29=200\cdot7{,}29\approx1458. RHS =1000-300=700. LHS>RHS → mudou sinal, logo existe raiz entre 0{,}5 e 1{,}0.
  • Refino:
    • Teste r=0{,}8: 2r=1{,}6. Estimo e^{1{,}6}\approx 4{,}95 (usando e\approx2{,}7 ou aproximação série). Então LHS (500\cdot0{,}8-300)=100 e 100\cdot4{,}95\approx495. RHS =800-300=500. Diferença ≈ -5.
    • Teste r=0{,}803: 2r\approx1{,}606. Estimo e^{1{,}606}\approx4{,}98. LHS: (500\cdot0{,}803-300)=101{,}5; 101{,}5\cdot4{,}98\approx505{,}0. RHS =803-300=503. Diferença ≈ +2.
  • A raiz está entre 0{,}800 e 0{,}803. Fazendo interpolação linear entre os dois pontos (aproximação razoável aqui):
    • Quando r=0{,}800, f≈ -5. Quando r=0{,}803, f≈ +2. Zerar f dá deslocamento \approx \dfrac{5}{7} do intervalo de 0{,}003, ou seja \approx0{,}00214.
    • Portanto estimativa r\approx0{,}800+0{,}00214\approx0{,}8021.
  • Conclusão numérica (arredondando): \displaystyle r\approx 0{,}802\\ \text{por mês}.ê
  • Interpretação: com r\approx0{,}802 (taxa mensal de crescimento) e matando 10 ratos/dia, a população passa de 500 para 1000 em 60 dias.

Passo 4

Verificação rápida (plugando para ver que faz sentido):
  • Com r=0{,}802, e^{2r}\approx e^{1{,}604}\approx 4{,}97. M/r=300/0{,}802\approx 374. Então
P(2)=374 + (500-374)\cdot 4{,}97 \approx 374 + 126\cdot4{,}97 \approx 374 + 626 \approx 1000,
o que confirma a solução dentro das aproximações usadas.

Passo 5

Segunda parte: para r=0{,}714 (por mês), quantos ratos por dia N devem ser mortos para que a população seja extinta em 2 meses?
  • Agora r é dado e queremos N tal que P(2)=0. Use a solução geral:
0 = \frac{M}{r}+\Big(500-\frac{M}{r}\Big)e^{2r},
onde M=30N. Reorganizando para encontrar M/r (vou chamar de A novamente):
A+\big(500-A\big)e^{2r}=0 \quad\Rightarrow\quad A(e^{2r}-1)=500e^{2r} \quad\Rightarrow\quad A=\frac{500e^{2r}}{e^{2r}-1}.
Lembrando A=\dfrac{M}{r}=\dfrac{30N}{r}, temos
\frac{30N}{r}=\frac{500e^{2r}}{e^{2r}-1} \quad\Rightarrow\quad N=\frac{r}{30}\cdot\frac{500e^{2r}}{e^{2r}-1}.
  • Agora plugue r=0{,}714. Primeiro calcular e^{2r}=e^{1{,}428}. Usando aproximação e^{1{,}428}\approx 4{,}17 (com e\cong2{,}7 ou tabela exponencial).
  • Calcule A=\dfrac{500\cdot 4{,}17}{4{,}17-1}=\dfrac{2085}{3{,}17}\approx 657{,}9.
  • Então
N=\frac{0{,}714}{30}\cdot 657{,}9 \approx 0{,}0238\cdot 657{,}9 \approx 15{,}67.
  • Interpretação: é preciso matar cerca de 15{,}7 ratos por dia. Em prática, como número de ratos deve ser inteiro, isso significa aproximadamente 16 ratos/dia para garantir extinção em 60 dias (com as aproximações feitas).

Resposta

r \approx 0{,}802\\ \text{por mês}ê
N \approx 15{,}7\\ \text{ratos/dia} (aproximadamente 16\\ \text{ratos/dia})

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