( 2,5 pontos) Considere que uma população de ratos do campo, numa certa região rural, cresce ao mês a uma taxa proporcional a população atual, onde o fator de proporcionalidade é a constante
. Seus predadores matam
ratos por dia. Considerando que no início da contagem tínhamos 500 ratos e que sejam mortos 10 ratos por dia, determine
para que a população de ratos dobre em 60 dias. Quantos ratos devem ser mortos por dia para que a população de ratos seja extinta em 60 dias, usando a taxa de proporcionalidade
ratos/ mês? Em ambos os casos, considere
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e as hipóteses que vou usar (peguei os números do enunciado).
- População inicial:
ratos. - Crescimento natural proporcional à população com constante
(unidade: ratos por mês, ou melhor: taxa por mês). - Predadores matam
ratos por dia; vou converter para meses usando dias por mês (hipótese padrão para esse tipo de exercício). Assim a retirada mensal é ratos por mês. - Tempo a considerar:
dias meses. - Em ambos os itens vamos modelar a população
(em meses) por uma equação diferencial do tipo crescimento proporcional menos remoção constante.
O que o enunciado pede:
- Determinar
para que a população dobre em meses quando ratos/dia. - Para
(ratos/ mês), determinar (ratos/dia) para que a população seja extinta em meses.
Observação: devo usarpara aproximar exponenciais quando necessário.
Passo 2
Modelagem e solução geral da equação diferencial — aula rápida e direta.
- A ideia física: taxa de variação da população = crescimento natural proporcional
menos remoção constante . Isso dá a ODE
onde
está em meses,
em (por mês) e
em ratos por mês.
- Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante. Método para resolver: achar solução geral = solução da homogênea + uma particular.
- Solução homogênea (quando
): tem solução . - Solução particular constante: buscar
constante tal que , logo (isso é o equilíbrio onde nascimentos igualam mortes).
- Solução homogênea (quando
- Portanto a solução geral é
Explicação das variáveis:
-
: população no instante (meses). -
: população inicial (aqui ). -
: remoção mensal . -
: taxa proporcional mensal que queremos encontrar ou que é dada. -
: função exponencial que descreve como a diferença da população em relação ao equilíbrio cresce/decai.
Passo 3
Primeira parte: encontrar
tal que a população dobre em
meses sabendo que
ratos/dia.
- Converter
para : ratos/mês. - Queremos
. Substituindo na solução:
- Vamos manipular essa equação para obter uma forma conveniente. Defina
. Então
Isolando o exponencial:
e substituindo
(para recuperar
):
- Essa equação é transcendental em
(aparece dentro e fora do exponencial). Logo precisamos de solução numérica. Vou fazer uma busca numérica simples por tentativa e ajuste (método de tentativa/interpolaçao) — isso é suficiente na prova se justificar os passos e usar aproximações com . - Testes rápidos (usar
aproximado com ou com valores tabelados): - Se
: . Então LHS . RHS . LHS<RHS negativamente → função é negativa. - Se
: . LHS . RHS . LHS>RHS → mudou sinal, logo existe raiz entre e .
- Se
- Refino:
- Teste
: . Estimo (usando ou aproximação série). Então LHS e . RHS . Diferença ≈ . - Teste
: . Estimo . LHS: ; . RHS . Diferença ≈ .
- Teste
- A raiz está entre
e . Fazendo interpolação linear entre os dois pontos (aproximação razoável aqui): - Quando
, f≈ . Quando , f≈ . Zerar f dá deslocamento do intervalo de , ou seja . - Portanto estimativa
.
- Quando
- Conclusão numérica (arredondando):
- Interpretação: com
(taxa mensal de crescimento) e matando ratos/dia, a população passa de para em dias.
Passo 4
Verificação rápida (plugando para ver que faz sentido):
- Com
, . . Então
o que confirma a solução dentro das aproximações usadas.
Passo 5
Segunda parte: para
(por mês), quantos ratos por dia
devem ser mortos para que a população seja extinta em
meses?
- Agora
é dado e queremos tal que . Use a solução geral:
onde
. Reorganizando para encontrar
(vou chamar de
novamente):
Lembrando
, temos
- Agora plugue
. Primeiro calcular . Usando aproximação (com ou tabela exponencial). - Calcule
. - Então
- Interpretação: é preciso matar cerca de
ratos por dia. Em prática, como número de ratos deve ser inteiro, isso significa aproximadamente ratos/dia para garantir extinção em dias (com as aproximações feitas).