(2,5 pontos) Considere o PVI
Determine um valor aproximado para
usando 3 intervalos de tamanho
.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI)
e pede um valor aproximado para
usando
intervalos de tamanho
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função que define a equação diferencial é
. - Condição inicial:
, . - Passo:
. - Queremos
em .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivo): o enunciado não exige um método específico, então vamos usar o método de Euler explícito (o mais direto e básico). Ele é apropriado aqui porque:
- Pede poucos passos (
) e um passo simples; - É o método mais elementar para aproximar soluções de EDOs, fácil de aplicar sem calculadora complexa;
- Além disso, é bom para aprender o procedimento passo a passo.
Breve aula sobre o método de Euler explícito:
- A ideia é aproximar a solução por retas tangentes em cada ponto. Se sabemos
em , a derivada indica a inclinação da solução nesse ponto. Aproximamos a curva por uma reta com essa inclinação no intervalo . - A fórmula do método de Euler é
onde:
-
é o n-ésimo ponto de malha (aqui ); -
é a aproximação para ; -
é o tamanho do passo; -
é a função do lado direito da EDO (a derivada). - Essa fórmula vem diretamente da aproximação
.
Passo 3
Preparação para as contas: vamos aplicar a fórmula de Euler com
,
,
, e
. Vou calcular os pontos sequencialmente:
-
, . -
. -
. -
.
Agora aplicamos a fórmula passo a passo.
Passo 4
Cálculo do primeiro passo (
→
):
- Primeiro calcule
. - Pela fórmula de Euler:
Portanto
em
.
Passo 5
Cálculo do segundo passo (
→
):
- Calcule
. - Aplicando Euler:
Portanto
em
.
Passo 6
Cálculo do terceiro passo (
→
):
- Calcule
. - Aplicando Euler:
Logo, a aproximação em
é
.
Passo 7
Comentário educativo sobre precisão (importante para a prova): se você quiser avaliar o erro, pode comparar com a solução exata da EDO (apenas para aprendizado). A EDO é linear; resolvendo-a exatamente obtemos
Isso dá
, então o erro do método de Euler com
e 3 passos é aproximadamente
. Não era pedido calcular o erro, mas saber que o método de Euler é só de primeira ordem (erro global proporcional a
) ajuda a entender por que há esse desvio.