(2,5 pontos) Considere o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=2 y-x \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
Determine um valor aproximado para y(0.3) usando 3 intervalos de tamanho h=0.1.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y' = 2y - x \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
e pede um valor aproximado para y(0{,}3) usando 3 intervalos de tamanho h=0{,}1.
Informações relevantes que temos:
  • A função que define a equação diferencial é f(x,y)=2y-x.
  • Condição inicial: x_0=0, y_0=1.
  • Passo: h=0{,}1.
  • Queremos y em x_3 = x_0 + 3h = 0 + 3\cdot 0{,}1 = 0{,}3.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivo): o enunciado não exige um método específico, então vamos usar o método de Euler explícito (o mais direto e básico). Ele é apropriado aqui porque:
  • Pede poucos passos ( 3) e um passo h simples;
  • É o método mais elementar para aproximar soluções de EDOs, fácil de aplicar sem calculadora complexa;
  • Além disso, é bom para aprender o procedimento passo a passo.
Breve aula sobre o método de Euler explícito:
  • A ideia é aproximar a solução por retas tangentes em cada ponto. Se sabemos y_n em x_n, a derivada y'(x_n)=f(x_n,y_n) indica a inclinação da solução nesse ponto. Aproximamos a curva por uma reta com essa inclinação no intervalo [x_n,x_{n+1}].
  • A fórmula do método de Euler é
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde:
  • x_n é o n-ésimo ponto de malha (aqui x_{n+1}=x_n+h);
  • y_n é a aproximação para y(x_n);
  • h é o tamanho do passo;
  • f(x,y) é a função do lado direito da EDO (a derivada).
  • Essa fórmula vem diretamente da aproximação y(x_{n+1}) \approx y(x_n) + (x_{n+1}-x_n)\,y'(x_n).

Passo 3

Preparação para as contas: vamos aplicar a fórmula de Euler com h=0{,}1, x_0=0, y_0=1, e f(x,y)=2y-x. Vou calcular os pontos sequencialmente:
  • x_0=0, y_0=1.
  • x_1=x_0+h=0{,}1.
  • x_2=0{,}2.
  • x_3=0{,}3.
Agora aplicamos a fórmula passo a passo.

Passo 4

Cálculo do primeiro passo ( n=0 n=1):
  • Primeiro calcule f(x_0,y_0)=f(0,1)=2\cdot 1 - 0 = 2.
  • Pela fórmula de Euler:
y_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0) = 1 + 0{,}1\cdot 2 = 1 + 0{,}2 = 1{,}2.
Portanto y_1=1{,}2 em x_1=0{,}1.

Passo 5

Cálculo do segundo passo ( n=1 n=2):
  • Calcule f(x_1,y_1)=f(0{,}1,1{,}2)=2\cdot 1{,}2 - 0{,}1 = 2{,}4 - 0{,}1 = 2{,}3.
  • Aplicando Euler:
y_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1) = 1{,}2 + 0{,}1\cdot 2{,}3 = 1{,}2 + 0{,}23 = 1{,}43.
Portanto y_2=1{,}43 em x_2=0{,}2.

Passo 6

Cálculo do terceiro passo ( n=2 n=3):
  • Calcule f(x_2,y_2)=f(0{,}2,1{,}43)=2\cdot 1{,}43 - 0{,}2 = 2{,}86 - 0{,}2 = 2{,}66.
  • Aplicando Euler:
y_3 = y_2 + h\,f(x_2,y_2) = 1{,}43 + 0{,}1\cdot 2{,}66 = 1{,}43 + 0{,}266 = 1{,}696.
Logo, a aproximação em x_3=0{,}3 é y_3=1{,}696.

Passo 7

Comentário educativo sobre precisão (importante para a prova): se você quiser avaliar o erro, pode comparar com a solução exata da EDO (apenas para aprendizado). A EDO é linear; resolvendo-a exatamente obtemos
y(x)=\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4}e^{2x}.
Isso dá y(0{,}3)\approx 1{,}7666\ldots, então o erro do método de Euler com h=0{,}1 e 3 passos é aproximadamente 1{,}696-1{,}7666\approx -0{,}0706. Não era pedido calcular o erro, mas saber que o método de Euler é só de primeira ordem (erro global proporcional a h) ajuda a entender por que há esse desvio.

Resposta

y(0{,}3)\approx 1{,}696

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