(2,5 pontos) Seja o PVI de segunda ordem
y^{\prime \prime}=4 y^{\prime}-3 y-x, \quad y(0)=0.445, \quad y^{\prime}(0)=2.333
Usando o método de Euler, obtenha uma aproximação para y(0.2) \operatorname{com} h=0.1.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar y(0,2) do problema de valor inicial (PVI)
y'' = 4y' - 3y - x,\qquad y(0)=0,445,\qquad y'(0)=2,333
usando o método de Euler com passo h=0,1.\n
Dados fornecidos:
y(0)=0,445,\quad y'(0)=2,333,\quad h=0,1,\quad\text{queremos }y(0,2).

Passo 2

Porque temos uma equação de segunda ordem, vamos transformá‑la num sistema de primeira ordem (isso é padrão para aplicar métodos numéricos simples). Definimos as variáveis
u_1(x)=y(x),\qquad u_2(x)=y'(x).
Então
u_1'(x)=u_2(x)
e, a partir da equação dada,
u_2'(x)=4u_2(x)-3u_1(x)-x.
Escrevendo em forma de sistema:
\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = 4u_2 - 3u_1 - x, \end{cases}
com condições iniciais
u_1(0)=0,445,\qquad u_2(0)=2,333.]

Passo 3

Vou explicar o método de Euler explícito para sistemas: seja (u_1,u_2) o estado no ponto x_n. Denotando por f_1(x,u_1,u_2)=u_2 e f_2(x,u_1,u_2)=4u_2-3u_1-x, o passo de Euler é
u_{1,n+1}=u_{1,n}+h\,f_1(x_n,u_{1,n},u_{2,n}),
u_{2,n+1}=u_{2,n}+h\,f_2(x_n,u_{1,n},u_{2,n}).
Aqui u_{1,n} é a aproximação de u_1(x_n) e u_{2,n} é a aproximação de u_2(x_n). Vamos usar x_0=0, x_1=0,1, x_2=0,2 com h=0,1. O objetivo é calcular u_{1,2}, que é a aproximação de y(0,2).

Passo 4

Inicializamos em x_0=0:
u_{1,0}=0,445,\qquad u_{2,0}=2,333.
Calculamos as componentes das derivadas no ponto inicial:
f_1(x_0,u_{1,0},u_{2,0})=u_{2,0}=2,333.
f_2(x_0,u_{1,0},u_{2,0})=4u_{2,0}-3u_{1,0}-x_0 =4\cdot 2,333 - 3\cdot 0,445 - 0.
Agora faça a conta passo a passo:
4\cdot 2,333 = 9,332,
3\cdot 0,445 = 1,335,
f_2 = 9,332 - 1,335 = 7,997.

Passo 5

Aplicamos Euler para obter a aproximação em x_1=0,1:
u_{1,1}=u_{1,0}+h\,f_1 = 0,445 + 0,1\cdot 2,333 = 0,445 + 0,2333 = 0,6783.
u_{2,1}=u_{2,0}+h\,f_2 = 2,333 + 0,1\cdot 7,997 = 2,333 + 0,7997 = 3,1327.
Portanto, em x_1=0,1 temos u_{1,1}=0,6783 e u_{2,1}=3,1327.

Passo 6

Agora calculamos as derivadas no ponto x_1=0,1:
f_1(x_1,u_{1,1},u_{2,1})=u_{2,1}=3,1327.
f_2(x_1,u_{1,1},u_{2,1})=4u_{2,1}-3u_{1,1}-x_1 =4\cdot 3,1327 - 3\cdot 0,6783 - 0,1.
Calculemos:
4\cdot 3,1327 = 12,5308,
3\cdot 0,6783 = 2,0349,
f_2 = 12,5308 - 2,0349 - 0,1 = 10,3959.

Passo 7

Aplicamos Euler pela segunda vez para x_2=0,2:
u_{1,2}=u_{1,1}+h\,f_1 = 0,6783 + 0,1\cdot 3,1327 = 0,6783 + 0,31327 = 0,99157.
u_{2,2}=u_{2,1}+h\,f_2 = 3,1327 + 0,1\cdot 10,3959 = 3,1327 + 1,03959 = 4,17229.
A quantidade que nos interessa é u_{1,2}, aproximação de y(0,2).

Passo 8

Resumo dos valores calculados (para conferir):
u_{1,0}=0,445,\;u_{2,0}=2,333
u_{1,1}=0,6783,\;u_{2,1}=3,1327
u_{1,2}=0,99157,\;u_{2,2}=4,17229.
Portanto a aproximação final para y(0,2) pelo método de Euler explícito com h=0,1 é u_{1,2}=0,99157.\n
(Um comentário rápido: o método de Euler é simples e fácil de calcular à mão, mas tem erro relativamente grande; para maior precisão em prova pode ser pedido método de Euler melhorado ou Runge–Kutta.)

Resposta

y(0,2)\approx 0,99157

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