(2,5 pontos) Seja o PVI de segunda ordem
Usando o método de Euler, obtenha uma aproximação para
.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar
do problema de valor inicial (PVI)
usando o método de Euler com passo
.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Passo 2
Porque temos uma equação de segunda ordem, vamos transformá‑la num sistema de primeira ordem (isso é padrão para aplicar métodos numéricos simples). Definimos as variáveis
Então
e, a partir da equação dada,
Escrevendo em forma de sistema:
com condições iniciais
Passo 3
Vou explicar o método de Euler explícito para sistemas: seja
o estado no ponto
. Denotando por
e
, o passo de Euler é
Aqui
é a aproximação de
e
é a aproximação de
. Vamos usar
,
,
com
. O objetivo é calcular
, que é a aproximação de
.
Passo 4
Inicializamos em
:
Calculamos as componentes das derivadas no ponto inicial:
Agora faça a conta passo a passo:
Passo 5
Aplicamos Euler para obter a aproximação em
:
Portanto, em
temos
e
.
Passo 6
Agora calculamos as derivadas no ponto
:
Calculemos:
Passo 7
Aplicamos Euler pela segunda vez para
:
A quantidade que nos interessa é
, aproximação de
.
Passo 8
Resumo dos valores calculados (para conferir):
Portanto a aproximação final para
pelo método de Euler explícito com
é
.\n
(Um comentário rápido: o método de Euler é simples e fácil de calcular à mão, mas tem erro relativamente grande; para maior precisão em prova pode ser pedido método de Euler melhorado ou Runge–Kutta.)
(Um comentário rápido: o método de Euler é simples e fácil de calcular à mão, mas tem erro relativamente grande; para maior precisão em prova pode ser pedido método de Euler melhorado ou Runge–Kutta.)