(2,5 pontos) Avalie a integral
\int_{0}^{2} x^{2} e^{-x^{2}} d x
usando o método dos trapézios com 4 trapézios.

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie a integral
\int_{0}^{2} x^{2} e^{-x^{2}} \, d x
usando o método dos trapézios com 4 trapézios. Informações relevantes dadas:
\text{intervalo } [a,b]=[0,2],\qquad n=4 \text{ (número de trapézios)}.úé
Nada mais foi pedido além de aplicar o método dos trapézios com esses parâmetros.

Passo 2

O que é o método dos trapézios e qual fórmula vamos usar? Vou explicar do jeito mais simples: se queremos aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
com n subintervalos de largura h, o método dos trapézios aproxima a área sob f por n trapézios e a fórmula é
T_n = h\left(\tfrac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{n-1}) + \tfrac{1}{2}f(x_n)\right).
Aqui:
  • a e b são os extremos do intervalo,
  • n é o número de trapézios,
  • h é a largura de cada subintervalo: h=\dfrac{b-a}{n},
  • x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h, \ldots, x_n=b,
  • f(x_i) são os valores da função nos nós.
Essa fórmula surge porque cada trapézio tem área \tfrac{h}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i)) e somando todos os n trapézios obtemos a expressão acima.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a=0, b=2, n=4. Calculo h:
h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{2-0}{4}=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}=0,5.

Passo 4

Agora obtemos os nós x_i:
x_0=0,\quad x_1=0,5,\quad x_2=1,0,\quad x_3=1,5,\quad x_4=2,0.
A função que vamos avaliar é f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}. Vou calcular f em cada nó (mostro como fiz as contas).

Passo 5

Cálculo de f(x_i) em cada nó:
  • Para x_0=0:
f(0)=0^{2}e^{-0^{2}}=0\cdot 1=0.
  • Para x_1=0,5:
x_1^{2}=(0,5)^{2}=0,25,\qquad e^{-(0,5)^{2}}=e^{-0,25}\approx 0,7788008.
Multiplicando:
f(0,5)=0,25\cdot 0,7788008\approx 0,1947002.
  • Para x_2=1,0:
x_2^{2}=1,\qquad e^{-1}=0,3678794,
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f(1,0)=1\cdot 0,3678794\approx 0,3678794.
  • Para x_3=1,5:
x_3^{2}=(1,5)^{2}=2,25,\qquad e^{-2,25}\approx 0,1053992.
Multiplicando:
f(1,5)=2,25\cdot 0,1053992\approx 0,2371483.
  • Para x_4=2,0:
x_4^{2}=4,\qquad e^{-4}\approx 0,01831564,
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f(2,0)=4\cdot 0,01831564\approx 0,07326256.
Observação rápida: os valores de e^{-x^{2}} eu recusei aqui a partir de aproximações padrão de e^{-t}. Em prova, normalmente você usaria calculadora para esses exponenciais; o resto dos passos é mecânico.

Passo 6

Agora aplico a fórmula do trapézio com h=0,5:
T_{4}=h\left(\tfrac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\tfrac{1}{2}f(x_4)\right).
Substituindo os números:
T_{4}=0,5\Big(\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 0,1947002 + 0,3678794 + 0,2371483 + \tfrac{1}{2}\cdot 0,07326256\Big).

Passo 7

Faço as somas passo a passo:
  • Metade do primeiro e do último:
\tfrac{1}{2}f(x_0)=0,\qquad \tfrac{1}{2}f(x_4)=\tfrac{1}{2}\cdot 0,07326256\approx 0,03663128.
  • Soma dos termos interiores:
0,1947002 + 0,3678794 + 0,2371483 = 0,7997279.
  • Soma total dentro do parêntese:
0 + 0,7997279 + 0,03663128 = 0,83635918.
Multiplicando por h=0,5:
T_{4}=0,5\cdot 0,83635918 \approx 0,41817959.
Arredondando de forma razoável (4 casas decimais):
T_{4}\approx 0,4182.

Resposta

0,41818

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