(2,5 pontos) Considere a seguinte tabela, que contém o valor de y=f(x) para alguns valores de x :
x y
0.00 1.00
0.43 0.91
0.86 0.65
1.29 0.28
Use o polinômio interpolador de Lagrange para estimar o valor de f(1.0).

Passo 1

O enunciado dá os valores de y=f(x) em quatro pontos e pede para estimar f(1{,}0) usando o polinômio interpolador de Lagrange.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{lcl} x_0=0{,}00,& y_0=1{,}00,\\[4pt] x_1=0{,}43,& y_1=0{,}91,\\[4pt] x_2=0{,}86,& y_2=0{,}65,\\[4pt] x_3=1{,}29,& y_3=0{,}28. \end{array}
O que se pede: estimar o valor de f(1{,}0).]

Passo 2

Escolhemos o polinômio interpolador de Lagrange (o enunciado pede isso). Vou explicar primeiro a fórmula e o que cada parte significa.
O polinômio de Lagrange de grau \le 3 que interpola os pontos (x_i,y_i) é
P(x)=\sum_{i=0}^{3} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando: para cada i construímos L_i(x) como produto de três frações. A noção é que L_i(x) vale 1 em x=x_i e vale 0 em todos os outros nós x_j ( j\neq i). Assim, P(x) combina os y_i com pesos L_i(x) de modo a reproduzir todos os valores dados. Nosso objetivo é calcular P(1{,}0)=\sum_{i=0}^{3} y_i\,L_i(1{,}0). Em cada L_i(1{,}0) substituímos x=1{,}0 e calculamos o produto.

Passo 3

Calcular L_0(1{,}0) para x_0=0{,}00. Usamos
L_0(1{,}0)=\frac{1{,}0-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{1{,}0-x_2}{x_0-x_2}\cdot\frac{1{,}0-x_3}{x_0-x_3}.
Substituindo os valores:
\frac{1{,}0-0{,}43}{0{,}00-0{,}43}\cdot\frac{1{,}0-0{,}86}{0{,}00-0{,}86}\cdot\frac{1{,}0-1{,}29}{0{,}00-1{,}29}.
Agora cálculo de cada fração:
\frac{0{,}57}{-0{,}43}=-1{,}3255813953,\quad \frac{0{,}14}{-0{,}86}=-0{,}1627906977,\quad \frac{-0{,}29}{-1{,}29}=0{,}2248062016.
Multiplicando:
L_0(1{,}0)\approx 0{,}048329966370441.

Passo 4

Calcular L_1(1{,}0) para x_1=0{,}43. Fórmula:
L_1(1{,}0)=\frac{1{,}0-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{1{,}0-x_2}{x_1-x_2}\cdot\frac{1{,}0-x_3}{x_1-x_3}.
Substituindo:
\frac{1{,}0-0{,}00}{0{,}43-0{,}00}\cdot\frac{1{,}0-0{,}86}{0{,}43-0{,}86}\cdot\frac{1{,}0-1{,}29}{0{,}43-1{,}29}.
Cálculo das frações:
\frac{1}{0{,}43}=2{,}3255813953,\quad \frac{0{,}14}{-0{,}43}=-0{,}3255813953,\quad \frac{-0{,}29}{-0{,}86}=0{,}3372093023.
Multiplicando:
L_1(1{,}0)\approx -0{,}2552997083021936.

Passo 5

Calcular L_2(1{,}0) para x_2=0{,}86. Fórmula:
L_2(1{,}0)=\frac{1{,}0-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{1{,}0-x_1}{x_2-x_1}\cdot\frac{1{,}0-x_3}{x_2-x_3}.
Substituindo:
\frac{1}{0{,}86}\cdot\frac{0{,}57}{0{,}43}\cdot\frac{-0{,}29}{-0{,}43}.
Cálculo das frações:
\frac{1}{0{,}86}=1{,}1627906977,\quad \frac{0{,}57}{0{,}43}=1{,}3255813953,\quad \frac{-0{,}29}{-0{,}43}=0{,}6744186047.
Multiplicando:
L_2(1{,}0)\approx 1{,}0400030519501594.

Passo 6

Calcular L_3(1{,}0) para x_3=1{,}29. Posso calcular direto pela fórmula ou usar a propriedade útil de que em qualquer x
\sum_{i=0}^{3} L_i(x)=1,
portanto
L_3(1{,}0)=1-\big(L_0(1{,}0)+L_1(1{,}0)+L_2(1{,}0)\big).
Usando os valores obtidos:
L_3(1{,}0)\approx 1-\big(0{,}048329966370441-0{,}2552997083021936+1{,}0400030519501594\big)
L_3(1{,}0)\approx 0{,}1669666899815932.

Passo 7

Agora formamos a estimativa P(1{,}0)=\sum_{i=0}^{3} y_i\,L_i(1{,}0). Calculemos cada termo:
y_0L_0=1{,}00\cdot 0{,}048329966370441=0{,}048329966370441,
y_1L_1=0{,}91\cdot(-0{,}2552997083021936)=-0{,}23232273455502194,
y_2L_2=0{,}65\cdot 1{,}0400030519501594=0{,}6760019847676036,
y_3L_3=0{,}28\cdot 0{,}1669666899815932=0{,}0467506731948461.
Somando todos:
P(1{,}0)\approx 0{,}048329966370441-0{,}23232273455502194+0{,}6760019847676036+0{,}0467506731948461.
Realizando a soma:
P(1{,}0)\approx 0{,}5387598897778688.

Passo 8

Interpretação final e arredondamento razoável: o polinômio interpolador de Lagrange estimou f(1{,}0) aproximadamente como 0{,}53876. Isso é o valor que você deve apresentar na prova se pedirem 4 ou 5 casas decimais.

Resposta

\,f(1{,}0)=0{,}5387598898

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