(2,5 pontos) Considere a seguinte tabela, que contém o valor de
para alguns valores de
:
| x | y |
|---|---|
| 0.00 | 1.00 |
| 0.43 | 0.91 |
| 0.86 | 0.65 |
| 1.29 | 0.28 |
Use o polinômio interpolador de Lagrange para estimar o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá os valores de
em quatro pontos e pede para estimar
usando o polinômio interpolador de Lagrange.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
O que se pede: estimar o valor de
.]
Passo 2
Escolhemos o polinômio interpolador de Lagrange (o enunciado pede isso). Vou explicar primeiro a fórmula e o que cada parte significa.
O polinômio de Lagrange de grau que interpola os pontos
é
O polinômio de Lagrange de grau
onde cada polinômio base
é dado por
Explicando: para cada
construímos
como produto de três frações. A noção é que
vale
em
e vale
em todos os outros nós
(
). Assim,
combina os
com pesos
de modo a reproduzir todos os valores dados. Nosso objetivo é calcular
. Em cada
substituímos
e calculamos o produto.
Passo 3
Calcular
para
. Usamos
Substituindo os valores:
Agora cálculo de cada fração:
Multiplicando:
Passo 4
Calcular
para
. Fórmula:
Substituindo:
Cálculo das frações:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular
para
. Fórmula:
Substituindo:
Cálculo das frações:
Multiplicando:
Passo 6
Calcular
para
. Posso calcular direto pela fórmula ou usar a propriedade útil de que em qualquer
portanto
Usando os valores obtidos:
Passo 7
Agora formamos a estimativa
. Calculemos cada termo:
Somando todos:
Realizando a soma:
Passo 8
Interpretação final e arredondamento razoável: o polinômio interpolador de Lagrange estimou
aproximadamente como
. Isso é o valor que você deve apresentar na prova se pedirem 4 ou 5 casas decimais.