(1.5 pontos) Considere que a região |z| <= h2 tenha a mesma permeabilidade do vácuo e que haja corrente distribuida com densidade
J^square=4 J0 ^z ^2 axx
O exterior da região é o vácuo.
b. ( 0.75 ponto)Determine o vetor B no interior e no exterior da região.

Passo 1

Então, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma região no espaço definida por $ |z| \leq \frac{h}{2} $, onde a permeabilidade magnética é igual à do vácuo. Dentro dessa região, há uma corrente distribuída com densidade dada por:
|z| <= h2
O exterior dessa região também é vácuo. A parte (b) do exercício pergunta para a gente determinar o vetor campo magnético $ \mathbf{B} $ tanto no interior quanto no exterior dessa região. Para resolver isso, vamos usar as leis do eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère para calcular o campo magnético gerado por correntes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de corrente $ \mathbf{J}^{\square} $. Ela está na direção do eixo $ x $ e depende de $ z^{2} $. Isso significa que a corrente varia com a posição ao longo do eixo $ z $. Como a permeabilidade é igual à do vácuo, podemos usar a Lei de Ampère em sua forma geral:
J^square
onde $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético $ \mathbf{B} $, precisamos calcular o rotacional de $ \mathbf{B} $ e relacionar com a densidade de corrente $ \mathbf{J} $. Vamos começar aplicando a forma integral da Lei de Ampère:
B
onde $ I_{enc} $ é a corrente total encerrada pelo caminho de integração.

Passo 4

Escolheremos um caminho de integração apropriado. Devido à simetria do problema, é conveniente escolher um laço retangular que se estende ao longo do eixo $ x $ e $ z $. No interior da região $ |z| \leq \frac{h}{2} $, a corrente $ I_{enc} $ será a integral de $ \mathbf{J} $ sobre a área.

Passo 5

Calculando a corrente total $ I_{enc} $ no interior:
Ienc
onde $ L $ é o comprimento ao longo do eixo $ x $. Integrando:
Ienc = integral J cdot dA = integral-h/2^h/2 4 J0 z^2 , dz cdot L

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère:
oint B cdot dl = mu0 J0 L h^33
Se assumirmos que o campo magnético $ \mathbf{B} $ é uniforme ao longo do caminho de integração, podemos simplificar a equação:
B
Portanto, no interior da região:
B cdot L = mu0 J0 h^33

Passo 7

Para o exterior da região $ |z| > \frac{h}{2} |z| > h2 ãá I_{enc} = 0 $). Assim, pela Lei de Ampère:
Ienc = 0
Isso implica que o campo magnético no exterior é nulo:
oint B cdot dl = 0

Resposta

No interior da região $ |z| \leq \frac{h}{2} $, o vetor campo magnético é
|z| <= h2
e no exterior da região, o campo magnético é nulo:
Binterior = mu0 J0 h^33 ay

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