(1.5 pontos) Considere que a região
tenha a mesma permeabilidade do vácuo e que haja corrente distribuida com densidade
O exterior da região é o vácuo.
b. ( 0.75 ponto)Determine o vetor
no interior e no exterior da região.
b. ( 0.75 ponto)Determine o vetor
Passo 1
Então, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma região no espaço definida por $ |z| \leq \frac{h}{2} $, onde a permeabilidade magnética é igual à do vácuo. Dentro dessa região, há uma corrente distribuída com densidade dada por:
O exterior dessa região também é vácuo. A parte (b) do exercício pergunta para a gente determinar o vetor campo magnético $ \mathbf{B} $ tanto no interior quanto no exterior dessa região. Para resolver isso, vamos usar as leis do eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère para calcular o campo magnético gerado por correntes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de corrente $ \mathbf{J}^{\square} $. Ela está na direção do eixo $ x $ e depende de $ z^{2} $. Isso significa que a corrente varia com a posição ao longo do eixo $ z $. Como a permeabilidade é igual à do vácuo, podemos usar a Lei de Ampère em sua forma geral:
onde $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético $ \mathbf{B} $, precisamos calcular o rotacional de $ \mathbf{B} $ e relacionar com a densidade de corrente $ \mathbf{J} $. Vamos começar aplicando a forma integral da Lei de Ampère:
onde $ I_{enc} $ é a corrente total encerrada pelo caminho de integração.
Passo 4
Escolheremos um caminho de integração apropriado. Devido à simetria do problema, é conveniente escolher um laço retangular que se estende ao longo do eixo $ x $ e $ z $. No interior da região $ |z| \leq \frac{h}{2} $, a corrente $ I_{enc} $ será a integral de $ \mathbf{J} $ sobre a área.
Passo 5
Calculando a corrente total $ I_{enc} $ no interior:
onde $ L $ é o comprimento ao longo do eixo $ x $. Integrando:
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère:
Se assumirmos que o campo magnético $ \mathbf{B} $ é uniforme ao longo do caminho de integração, podemos simplificar a equação:
Portanto, no interior da região:
Passo 7
Para o exterior da região $ |z| > \frac{h}{2}
I_{enc} = 0 $). Assim, pela Lei de Ampère:
Isso implica que o campo magnético no exterior é nulo:
Resposta
No interior da região $ |z| \leq \frac{h}{2} $, o vetor campo magnético é
e no exterior da região, o campo magnético é nulo: