(3 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=x^{2}
a) (1,5) Encontre uma solução geral do problema homogêneo: y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0;
b) (1,0) Encontre uma solução particular da equação (2) da forma y_{p}(x)=A x^{2}+B x+C;
c) (0,5) Encontre uma solução geral de (2).
Justifique bem os métodos utilizados para as conclusões. Boa sortel

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-3y'-4y=x^{2},
e pede três coisas:
  1. Encontre uma solução geral do problema homogêneo \;y''-3y'-4y=0.\n
  2. Encontre uma solução particular da equação completa da forma \;y_{p}(x)=A x^{2}+B x+C.\n
  3. Encontre a solução geral da equação não homogênea completa.
Informações relevantes que temos aqui:
  • A parte homogênea é a equação linear com coeficientes constantes \;y''-3y'-4y=0.
  • A parte não homogênea (termo do lado direito) é o polinômio \;x^{2} (grau 2).
  • O enunciado sugere usar uma solução particular polinomial de grau 2 com constantes A,B,C.

Passo 2

Vamos resolver o problema homogêneo. A técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma \;y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx} e isso transforma a EDO em uma equação algébrica para r.
Substituindo y=e^{rx} em \;y''-3y'-4y=0 obtemos
r^{2}e^{rx}-3r e^{rx}-4 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^{2}-3r-4=0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática \;r^{2}-3r-4=0. Podemos fatorar:
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1).
Logo as raízes são \;r=4 e \;r=-1.

Passo 4

Como as duas raízes da equação característica são reais e distintas, a solução geral do homogêneo é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto
y_{h}(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x},
onde \;C_{1} e \;C_{2} são constantes arbitrárias que serão ajustadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora vamos encontrar uma solução particular \;y_{p} da equação completa. O lado direito é um polinômio de grau 2, \;x^{2}. Pelo método dos coeficientes indeterminados, uma escolha natural é tentar um polinômio de mesmo grau:
y_{p}(x)=A x^{2}+B x+C,
com constantes desconhecidas \;A,B,C a determinar. Antes de usar esse palpite precisamos checar se há “ressonância”: se alguma solução do homogêneo fosse um polinômio do mesmo tipo (por exemplo se r=0 fosse raiz da característica), teríamos que multiplicar o palpite por x adequado. Aqui as soluções homogêneas são exponenciais \;e^{4x} e \;e^{-x}, não polinômios, então não há ressonância e o palpite polinomial simples é válido.

Passo 6

Calculemos as derivadas de \;y_{p}. Para \;y_{p}(x)=A x^{2}+B x+C temos
y_{p}'(x)=2A x + B,
y_{p}''(x)=2A.
Estou explicitando passo a passo porque na prova é importante mostrar as derivadas.

Passo 7

Substituímos \;y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial \;y''-3y'-4y=x^{2}. Fazendo a substituição:
y_{p}''-3y_{p}'-4y_{p}=2A -3(2A x + B) -4(A x^{2}+B x + C).
Agora expandimos termo a termo:
2A -6A x -3B -4A x^{2} -4B x -4C.
Agrupamos os termos por potência de x:
\bigl(-4A\bigr) x^{2} + \bigl(-6A -4B\bigr) x + \bigl(2A -3B -4C\bigr).
Isso deve ser igual ao lado direito \;x^{2}, que podemos escrever como
1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0.

Passo 8

Igualando coeficientes das potências de x obtemos um sistema de três equações para \;A,B,C.
Coeficiente de x^{2}:
-4A = 1.
Logo
A = -\dfrac{1}{4}.
Coeficiente de x:
-6A -4B = 0.
Substituindo \;A=-\dfrac{1}{4}:
-6\left(-\dfrac{1}{4}\right) -4B = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{6}{4} -4B = 0.
Simplificando \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}:
\dfrac{3}{2} -4B = 0 \quad\Rightarrow\quad 4B = \dfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad B = \dfrac{3}{8}.
Coeficiente constante:
2A -3B -4C = 0.
Substituindo A e B:
2\left(-\dfrac{1}{4}\right) -3\left(\dfrac{3}{8}\right) -4C = 0.
Calcule cada termo: 2(-\tfrac{1}{4})=-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{4}{8} e -3(\tfrac{3}{8})=-\tfrac{9}{8}. Somando os dois termos:
-\tfrac{4}{8}-\tfrac{9}{8}=-\tfrac{13}{8}.
Então
-\tfrac{13}{8}-4C=0 \quad\Rightarrow\quad 4C=-\tfrac{13}{8} \quad\Rightarrow\quad C=-\dfrac{13}{32}.

Passo 9

Temos, portanto, os valores encontrados:
A=-\dfrac{1}{4},\qquad B=\dfrac{3}{8},\qquad C=-\dfrac{13}{32}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{13}{32}.

Passo 10

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral do homogêneo com uma solução particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo os resultados anteriores:
y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{13}{32},
onde \;C_{1} e \;C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{h}(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}\n
y_{p}(x)=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{13}{32}\n
y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{13}{32}

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