(3 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem:
a)
Encontre uma solução geral do problema homogêneo:
;
b)
Encontre uma solução particular da equação (2) da forma
;
c)
Encontre uma solução geral de (2).
Justifique bem os métodos utilizados para as conclusões. Boa sortel
b)
c)
Justifique bem os métodos utilizados para as conclusões. Boa sortel
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
e pede três coisas:
- Encontre uma solução geral do problema homogêneo
.\n - Encontre uma solução particular da equação completa da forma
.\n - Encontre a solução geral da equação não homogênea completa.
Informações relevantes que temos aqui:
- A parte homogênea é a equação linear com coeficientes constantes
. - A parte não homogênea (termo do lado direito) é o polinômio
(grau ). - O enunciado sugere usar uma solução particular polinomial de grau
com constantes .
Passo 2
Vamos resolver o problema homogêneo. A técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes é tentar uma solução da forma
, porque derivadas de
são múltiplos de
e isso transforma a EDO em uma equação algébrica para
.
Substituindo
em
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Logo as raízes são
e
.
Passo 4
Como as duas raízes da equação característica são reais e distintas, a solução geral do homogêneo é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias que serão ajustadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora vamos encontrar uma solução particular
da equação completa. O lado direito é um polinômio de grau
,
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, uma escolha natural é tentar um polinômio de mesmo grau:
com constantes desconhecidas
a determinar. Antes de usar esse palpite precisamos checar se há “ressonância”: se alguma solução do homogêneo fosse um polinômio do mesmo tipo (por exemplo se
fosse raiz da característica), teríamos que multiplicar o palpite por
adequado. Aqui as soluções homogêneas são exponenciais
e
, não polinômios, então não há ressonância e o palpite polinomial simples é válido.
Passo 6
Calculemos as derivadas de
. Para
temos
Estou explicitando passo a passo porque na prova é importante mostrar as derivadas.
Passo 7
Substituímos
na equação diferencial
. Fazendo a substituição:
Agora expandimos termo a termo:
Agrupamos os termos por potência de
:
Isso deve ser igual ao lado direito
, que podemos escrever como
Passo 8
Igualando coeficientes das potências de
obtemos um sistema de três equações para
.
Coeficiente de
:
Logo
Coeficiente de
:
Substituindo
:
Simplificando
:
Coeficiente constante:
Substituindo
e
:
Calcule cada termo:
e
. Somando os dois termos:
Então
Passo 9
Temos, portanto, os valores encontrados:
Logo a solução particular é
Passo 10
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral do homogêneo com uma solução particular:
Substituindo os resultados anteriores:
onde
e
são constantes arbitrárias.