5.4 Para um escoamento no plano x y, a componente x da velocidade é dada por u=A x(y-B), onde A=1 \mathrm{ft}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, B=6 \mathrm{ft} \mathrm{e} x e y são medidos em pés. Encontre uma possível componente y para escoamento permanente e incompressivel. Ela tambérn é valida para escoamento incompressivel näo permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

O enunciado dá a componente x da velocidade no plano xy:
u = A x (y - B)
com A=1\\ \mathrm{ft}^{-1}\mathrm{s}^{-1}, B=6\\ \mathrm{ft}. Pede:
  1. Encontrar uma possível componente y (ou seja, v(x,y)) para escoamento permanente e incompressível.
  2. Dizer se essa componente também é válida para escoamento incompressível não permanente e por quê.
  3. Dizer quantas são as possíveis componentes y.
    Informações relevantes: x e y medidos em pés; “permanente” = sem dependência temporal; “incompressível” = densidade constante (continuidade reduz a divergência nula).

Passo 2

Relembrando a equação de continuidade para escoamento incompressível em duas dimensões (plano xy): a conservação de massa com densidade constante dá que a divergência do campo de velocidade é zero em cada ponto. Matemáticamente:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Aqui u(x,y,t) é a componente da velocidade na direção x e v(x,y,t) é a componente na direção y. Para escoamento “permanente” não há dependência em t, mas a equação acima vale também instantaneamente para escoamento não permanente (se a densidade for constante). Explico porque: a equação de continuidade para incompressível (densidade constante \rho) é \nabla\cdot\mathbf{u}=0, que não contém derivada temporal da velocidade — ela deve valer em cada instante.

Passo 3

Calculo \partial u/\partial x a partir de u = A x (y - B). Diferenciando em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial u}{\partial x} = A (y - B).
Substituo na equação de continuidade:
\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} = -A (y - B).

Passo 4

Agora integro a equação \partial v/\partial y = -A(y-B) em relação a y. Integração passo a passo:
\int \frac{\partial v}{\partial y}\,dy = \int -A(y-B)\,dy.
No lado esquerdo a integral dá v(x,y) mais uma função de integração dependente de x (porque diferenciámos por y); no lado direito:
\int -A(y-B)\,dy = -A\left(\frac{y^2}{2} - B y\right) + C,
onde C é uma “constante” de integração que pode depender apenas de x. Portanto a solução geral é
v(x,y) = -A\left(\frac{y^2}{2} - B y\right) + g(x),
onde g(x) é uma função arbitrária de x. Explico: ao integrar em relação a y temos que a constante de integração pode ser função de x (porque ao diferenciar v em y ela some). Essa função g(x) é determinada por condições de contorno (por exemplo valor de v ao longo de uma linha y=y_0).

Passo 5

Substituo os valores numéricos dados A=1 e B=6 para ficar explícito e fácil de usar na prova:
v(x,y) = -\left(\frac{y^2}{2} - 6y\right) + g(x) = -\frac{1}{2}y^2 + 6y + g(x).
Expliquei os coeficientes: o termo -\tfrac{1}{2}y^2 + 6y vem da integração do termo -A(y-B) com A=1,B=6; g(x) permanece arbitrária até aplicar condições de contorno.

Passo 6

Pergunta sobre escoamento incompressível não permanente: a equação de continuidade para incompressível é sempre \partial u/\partial x + \partial v/\partial y = 0 em cada instante. Se o escoamento for não permanente (dependente do tempo) e u dado no enunciado não depende de t, ao integrar em y a função de integração pode agora depender de x e de t. Ou seja, para não permanente a solução mais geral é
v(x,y,t) = -A\left(\frac{y^2}{2} - B y\right) + g(x,t),
com g arbitrária em x e t. Portanto a forma encontrada para o caso permanente continua válida, apenas permitindo que a “constante” de integração varie no tempo. Conclusão: sim, a solução é válida também para escoamento incompressível não permanente, desde que se permita g depender de t; a razão é que a condição de incompressibilidade (divergência nula) não envolve derivadas temporais da velocidade.

Passo 7

Quantas possíveis componentes y existem? Como vimos, há uma família infinita de soluções, pois g(x) (ou g(x,t) no caso não permanente) é arbitrária até que se imponham condições de contorno. Ou seja, sem condições de contorno, existem infinitas componentes v possíveis — uma para cada função admissível g.

Resposta

v(x,y) = -A\left(\dfrac{y^{2}}{2}-By\right) + g(x) (com A=1,\\ B=6 v(x,y)=-\dfrac{1}{2}y^{2}+6y+g(x)).
Sim — também válida para escoamento incompressível não permanente, desde que a função arbitrária passe a poder depender do tempo: g=g(x,t), porque a condição de incompressibilidade \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 vale instantaneamente e não contém derivada temporal.
Infinitas — há uma família de soluções parametrizada por uma função arbitrária g(x) (ou g(x,t) no caso não permanente).

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