5.4 Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
, onde
e
são medidos em pés. Encontre uma possível componente y para escoamento permanente e incompressivel. Ela tambérn é valida para escoamento incompressivel näo permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes
?
Passo 1
O enunciado dá a componente
da velocidade no plano
:
com
,
. Pede:
- Encontrar uma possível componente
(ou seja, ) para escoamento permanente e incompressível. - Dizer se essa componente também é válida para escoamento incompressível não permanente e por quê.
- Dizer quantas são as possíveis componentes
.
Informações relevantes:e medidos em pés; “permanente” = sem dependência temporal; “incompressível” = densidade constante (continuidade reduz a divergência nula).
Passo 2
Relembrando a equação de continuidade para escoamento incompressível em duas dimensões (plano
): a conservação de massa com densidade constante dá que a divergência do campo de velocidade é zero em cada ponto. Matemáticamente:
Aqui
é a componente da velocidade na direção
e
é a componente na direção
. Para escoamento “permanente” não há dependência em
, mas a equação acima vale também instantaneamente para escoamento não permanente (se a densidade for constante). Explico porque: a equação de continuidade para incompressível (densidade constante
) é
, que não contém derivada temporal da velocidade — ela deve valer em cada instante.
Passo 3
Calculo
a partir de
. Diferenciando em relação a
, tratando
como constante:
Substituo na equação de continuidade:
Passo 4
Agora integro a equação
em relação a
. Integração passo a passo:
No lado esquerdo a integral dá
mais uma função de integração dependente de
(porque diferenciámos por
); no lado direito:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender apenas de
. Portanto a solução geral é
onde
é uma função arbitrária de
. Explico: ao integrar em relação a
temos que a constante de integração pode ser função de
(porque ao diferenciar
em
ela some). Essa função
é determinada por condições de contorno (por exemplo valor de
ao longo de uma linha
).
Passo 5
Substituo os valores numéricos dados
e
para ficar explícito e fácil de usar na prova:
Expliquei os coeficientes: o termo
vem da integração do termo
com
;
permanece arbitrária até aplicar condições de contorno.
Passo 6
Pergunta sobre escoamento incompressível não permanente: a equação de continuidade para incompressível é sempre
em cada instante. Se o escoamento for não permanente (dependente do tempo) e
dado no enunciado não depende de
, ao integrar em
a função de integração pode agora depender de
e de
. Ou seja, para não permanente a solução mais geral é
com
arbitrária em
e
. Portanto a forma encontrada para o caso permanente continua válida, apenas permitindo que a “constante” de integração varie no tempo. Conclusão: sim, a solução é válida também para escoamento incompressível não permanente, desde que se permita
depender de
; a razão é que a condição de incompressibilidade (divergência nula) não envolve derivadas temporais da velocidade.
Passo 7
Quantas possíveis componentes
existem? Como vimos, há uma família infinita de soluções, pois
(ou
no caso não permanente) é arbitrária até que se imponham condições de contorno. Ou seja, sem condições de contorno, existem infinitas componentes
possíveis — uma para cada função admissível
.
Resposta
Sim — também válida para escoamento incompressível não permanente, desde que a função arbitrária passe a poder depender do tempo:
Infinitas — há uma família de soluções parametrizada por uma função arbitrária