(2 pontos) Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
x^{2} \frac{d y}{d x}=y(1-x), \quad y(-1)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x^{2}\frac{dy}{dx}=y(1-x),\qquad y(-1)=-1.
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona y, dy/dx e x.
  • A condição inicial fixa o valor de y quando x=-1.
  • Note que a equação é escrita de modo que x=0 é um ponto singular (pois aparece x^{2} no denominador se isolarmos dy/dx). Portanto quaisquer manipulações com \ln|x| ou divisão por x devem respeitar que não podemos cruzar x=0.
  • Também vale observar que y\equiv 0 é uma solução trivial da equação, mas não satisfaz a condição inicial y(-1)=-1. Então vamos procurar soluções não identicamente nulas.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para deixar dy e dx em lados diferentes (técnica de separação de variáveis). Dividindo ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq 0) e por y (válido quando y\neq 0; lembramos que solução nula já foi tratada),
\frac{dy}{dx}=\frac{y(1-x)}{x^{2}}.
Agora dividimos por y e multiplicamos por dx:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1-x}{x^{2}}\,dx.
Explicação didática: separar significa colocar todas as ocorrências de y com dy de um lado e todas as de x com dx do outro. Assim podemos integrar cada lado independente.

Passo 3

Simplificamos a função de x no lado direito para tornar a integral mais direta:
\frac{1-x}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}.
Portanto a igualdade para integrar fica
\frac{1}{y}\,dy=\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou calcular cada integral passo a passo:
  • Integral do lado esquerdo:
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C_1,
onde explico: a antiderivada de 1/y é \ln|y| porque a derivada de \ln|y| é 1/y.
  • Integral do lado direito (integrando termo a termo):
\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)dx=\int x^{-2}dx - \int x^{-1}dx.
Cálculo das duas integrais:
\int x^{-2}dx=-x^{-1}=-\frac{1}{x},
\int x^{-1}dx=\ln|x|.
Então a integral do lado direito é
-\frac{1}{x}-\ln|x| + C_2.

Passo 5

Igualando as integrais (absorvendo constantes C_1 e C_2 numa única constante C) obtemos
\ln|y|=-\frac{1}{x}-\ln|x|+C.
Agora vamos manipular essa expressão para isolar y. Primeiro somamos \ln|x| a ambos os lados:
\ln|y|+\ln|x|=-\frac{1}{x}+C.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln|y|+\ln|x|=\ln|xy|, obtemos
\ln|xy|=-\frac{1}{x}+C.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados (ou seja, aplicando e^{(\cdot)}) para eliminar o logaritmo:
|xy|=e^{C}e^{-1/x}.
Chamando A=e^{C}>0 (uma constante positiva), temos
|xy|=A e^{-1/x}.
Podemos retirar o valor absoluto deixando uma constante K que pode ser positiva ou negativa:
xy=K e^{-1/x},
onde K\in\mathbb{R}\setminus\{0\} (o caso K=0 corresponderia a y\equiv 0 que já descartamos pela condição inicial).

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(-1)=-1 para determinar K. Substituindo x=-1 e y=-1 em xy=K e^{-1/x}:
(-1)\cdot(-1)=1=K e^{-1/(-1)}=K e^{1}.
Logo
K=e^{-1}.

Passo 8

Substituímos K na expressão geral e isolamos y:
xy=e^{-1}e^{-1/x}=e^{-\left(1+\frac{1}{x}\right)}.
Portanto
y(x)=\frac{1}{x}\,e^{-\left(1+\frac{1}{x}\right)}.
Explicação sobre domínio: como durante a integração apareceu \ln|x|, a solução é válida em intervalos que não contêm x=0. A condição inicial em x=-1 indica que devemos escolher o ramo com x<0. Assim a solução encontrada é válida para x<0. (Para x>0 haveria uma solução análoga com talvez outra constante K, mas nossa condição inicial fixa K conforme acima.)

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x}\,e^{-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)},\quad x<0

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