(2 pontos) Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona
, e . - A condição inicial fixa o valor de
quando . - Note que a equação é escrita de modo que
é um ponto singular (pois aparece no denominador se isolarmos ). Portanto quaisquer manipulações com ou divisão por devem respeitar que não podemos cruzar . - Também vale observar que
é uma solução trivial da equação, mas não satisfaz a condição inicial . Então vamos procurar soluções não identicamente nulas.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para deixar
e
em lados diferentes (técnica de separação de variáveis). Dividindo ambos os lados por
(válido para
) e por
(válido quando
; lembramos que solução nula já foi tratada),
Agora dividimos por
e multiplicamos por
:
Explicação didática: separar significa colocar todas as ocorrências de
com
de um lado e todas as de
com
do outro. Assim podemos integrar cada lado independente.
Passo 3
Simplificamos a função de
no lado direito para tornar a integral mais direta:
Portanto a igualdade para integrar fica
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou calcular cada integral passo a passo:
- Integral do lado esquerdo:
onde explico: a antiderivada de
é
porque a derivada de
é
.
- Integral do lado direito (integrando termo a termo):
Cálculo das duas integrais:
Então a integral do lado direito é
Passo 5
Igualando as integrais (absorvendo constantes
e
numa única constante
) obtemos
Agora vamos manipular essa expressão para isolar
. Primeiro somamos
a ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Passo 6
Exponenciando ambos os lados (ou seja, aplicando
) para eliminar o logaritmo:
Chamando
(uma constante positiva), temos
Podemos retirar o valor absoluto deixando uma constante
que pode ser positiva ou negativa:
onde
(o caso
corresponderia a
que já descartamos pela condição inicial).
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
:
Logo
Passo 8
Substituímos
na expressão geral e isolamos
:
Portanto
Explicação sobre domínio: como durante a integração apareceu
, a solução é válida em intervalos que não contêm
. A condição inicial em
indica que devemos escolher o ramo com
. Assim a solução encontrada é válida para
. (Para
haveria uma solução análoga com talvez outra constante
, mas nossa condição inicial fixa
conforme acima.)