( 2,5 pontos) Considere a seguinte equação diferencial:
a)
Mostre que essa equação não é exata;
b)
Multiplique (1) por
e mostre que a nova equaçĩo obtida ó exata:
c)
Encontre uma solução geral da equação encontrada no item anterior.
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
- Mostrar que a equação não é exata.
- Multiplicar a equação original por
e mostrar que a nova equação é exata. - Encontrar a solução geral da equação exata obtida no item anterior.
Informações relevantes fornecidas: a equação original (acima) e o fator multiplicativo
. Não há outras condições iniciais; portanto procuraremos a solução em forma implícita com uma constante de integração.
Passo 2
Vamos primeiro reescrever a equação no formato padrão de forma diferencial exata:
Comparando com a equação dada, colocamos todos os termos na forma acima dividindo ou reorganizando. A equação original é equivalente a
Portanto definimos
Passo 3
Explicando o conceito de exatidão (passo-a-passo didático): uma equação na forma
é exata se existe uma função
(chamada potencial) tal que
Uma condição prática, necessária e (em domínios simples e conexos) suficiente para exatidão é
Isto vem do fato de que, se
e
, então
por teorema de igualdade das derivadas mistas.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais relevantes:
Como
e
, temos que em geral
logo a equação original não é exata.
Passo 5
Agora multiplicamos a equação original pelo fator dado
. Multiplicando termo a termo obtemos a nova equação
Simplificando,
Denotando os novos coeficientes por
e
, temos
Passo 6
Verificamos agora a exatidão da equação multiplicada calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação multiplicada por
é exata. (Checado!)
Passo 7
Agora resolvemos a equação exata. Procuramos
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(porque a derivada parcial em
de
é zero).
Passo 8
Para determinar
usamos a condição
. Calculemos
a partir da expressão encontrada:
Esta expressão deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais, obtemos
Passo 9
Integrando
em relação a
para encontrar
:
onde
é uma constante de integração (que será incorporada depois como constante geral da solução).
Passo 10
Portanto a função potencial é
A solução geral implícita da equação exata (a igualdade
constante) é
onde
é uma constante arbitrária (troquei
por
para destacar que é a constante final da solução).
Resposta
a) Não é exata, pois
.\n
b) Multiplicando por obtemos a equação
, que é exata (pois
).\n
c) Solução geral implícita:
b) Multiplicando por
c) Solução geral implícita: