( 2,5 pontos) Considere a seguinte equação diferencial:
2 x y+\left(3 x^{2}+4 y^{2}-15\right) \frac{d y}{d x}=0
a) (0,5) Mostre que essa equação não é exata;
b) (0,5) Multiplique (1) por \mu(x, y)=y^{2} e mostre que a nova equaçĩo obtida ó exata:
c) (1,5) Encontre uma solução geral da equação encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2xy + \left(3x^{2}+4y^{2}-15\right)\frac{dy}{dx} = 0
e pede três coisas:
  1. Mostrar que a equação não é exata.
  2. Multiplicar a equação original por \mu(x,y)=y^{2} e mostrar que a nova equação é exata.
  3. Encontrar a solução geral da equação exata obtida no item anterior.
Informações relevantes fornecidas: a equação original (acima) e o fator multiplicativo \mu(x,y)=y^{2}. Não há outras condições iniciais; portanto procuraremos a solução em forma implícita com uma constante de integração.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a equação no formato padrão de forma diferencial exata:
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Comparando com a equação dada, colocamos todos os termos na forma acima dividindo ou reorganizando. A equação original é equivalente a
2xy\,dx + \left(3x^{2}+4y^{2}-15\right)\,dy = 0.
Portanto definimos
M(x,y)=2xy,\qquad N(x,y)=3x^{2}+4y^{2}-15.

Passo 3

Explicando o conceito de exatidão (passo-a-passo didático): uma equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) (chamada potencial) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática, necessária e (em domínios simples e conexos) suficiente para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Isto vem do fato de que, se M=\Phi_x e N=\Phi_y, então \Phi_{xy}=\Phi_{yx} por teorema de igualdade das derivadas mistas.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais relevantes:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+4y^{2}-15)=6x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=2x e \frac{\partial N}{\partial x}=6x, temos que em geral
\frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x},
logo a equação original não é exata.

Passo 5

Agora multiplicamos a equação original pelo fator dado \mu(x,y)=y^{2}. Multiplicando termo a termo obtemos a nova equação
y^{2}\cdot\big(2xy\big)\,dx + y^{2}\cdot\big(3x^{2}+4y^{2}-15\big)\,dy = 0.
Simplificando,
2x y^{3}\,dx + \big(3x^{2}y^{2}+4y^{4}-15y^{2}\big)\,dy = 0.
Denotando os novos coeficientes por \widetilde{M}(x,y) e \widetilde{N}(x,y), temos
\widetilde{M}(x,y)=2x y^{3},\qquad \widetilde{N}(x,y)=3x^{2}y^{2}+4y^{4}-15y^{2}.

Passo 6

Verificamos agora a exatidão da equação multiplicada calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x y^{3})=6x y^{2},
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2}+4y^{4}-15y^{2})=6x y^{2}.
Como \frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}, a equação multiplicada por y^{2} é exata. (Checado!)

Passo 7

Agora resolvemos a equação exata. Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=2x y^{3}.
Integramos \widetilde{M} em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int 2x y^{3}\,dx = x^{2} y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (porque a derivada parcial em x de h(y) é zero).

Passo 8

Para determinar h(y) usamos a condição \Phi_{y}=\widetilde{N}(x,y). Calculemos \Phi_{y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y^{3} + h(y)\big)=3x^{2} y^{2} + h'(y).
Esta expressão deve ser igual a \widetilde{N}(x,y)=3x^{2}y^{2}+4y^{4}-15y^{2}. Igualando:
3x^{2} y^{2} + h'(y) = 3x^{2} y^{2} + 4y^{4} - 15y^{2}.
Cancelando os termos iguais, obtemos
h'(y)=4y^{4}-15y^{2}.

Passo 9

Integrando h'(y) em relação a y para encontrar h(y):
h(y)=\int\big(4y^{4}-15y^{2}\big)\,dy = \frac{4}{5}y^{5} - 5y^{3} + C,
onde C é uma constante de integração (que será incorporada depois como constante geral da solução).

Passo 10

Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=x^{2} y^{3} + \frac{4}{5}y^{5} - 5y^{3} + C.
A solução geral implícita da equação exata (a igualdade \Phi(x,y)= constante) é
x^{2} y^{3} + \frac{4}{5}y^{5} - 5y^{3} = C_{\!1},
onde C_{\!1} é uma constante arbitrária (troquei C por C_{\!1} para destacar que é a constante final da solução).

Resposta

a) Não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=2x\neq \dfrac{\partial N}{\partial x}=6x.\n
b) Multiplicando por \mu(x,y)=y^{2} obtemos a equação 2x y^{3}\,dx + (3x^{2}y^{2}+4y^{4}-15y^{2})\,dy=0, que é exata (pois \partial(\widetilde{M})/\partial y=\partial(\widetilde{N})/\partial x=6x y^{2}).\n
c) Solução geral implícita: \;x^{2} y^{3} + \dfrac{4}{5}y^{5} - 5y^{3} = C.

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