(2.5 pontos) Considere a seguinte função
:
(a) Dê o domínio de
.
(b) Encontre as assíntotas horizontais de
.
(c) Encontre as assíntotas verticais de
.
(a) Dê o domínio de
(b) Encontre as assíntotas horizontais de
(c) Encontre as assíntotas verticais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) o domínio de
; - (b) as assíntotas horizontais de
; - (c) as assíntotas verticais de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão algébrica de
é . - Pontos onde o denominador é zero são potencialmente problemáticos (não pertencem ao domínio e podem gerar assíntotas verticais).
Passo 2
Encontrar o domínio: a única restrição é que o denominador não pode ser zero. Resolver
Fatorando,
As raízes são
e
. Como o denominador se anula nesses pontos, esses valores devem ser excluídos do domínio. Não há cancelamento com o numerador (o numerador é
, que não anula nenhum dos fatores
ou
simultaneamente), então não há buracos removíveis, apenas exclusões.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os reais exceto
e
, que em notação de intervalos fica
Passo 3
Assíntotas horizontais: para verificar assíntotas horizontais com funções racionais, compare os graus (ordens) do polinômio do numerador e do denominador.
- Grau do numerador
1. - Grau do denominador
2.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a função tende a zero quando
. Mostrando isso com limite:
porque
e
quando
.
Logo existe uma assíntota horizontal comum para as duas direções do infinito:
Passo 4
Assíntotas verticais: normalmente aparecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero (ou seja, não há cancelamento). Já identificamos que
anulam o denominador e o numerador em
vale
e em
vale
. Portanto
e
são candidatos a assíntotas verticais. Para confirmar, verifiquemos os limites laterais, analisando o sinal do quociente próximo a cada ponto.
Perto de
:
- Para
(um pouco à esquerda de ) o numerador é positivo ( ) e o denominador é negativo (pois e ), então . - Para
(um pouco à direita de ) o numerador é positivo e o denominador é positivo (pois ), então .
Perto de
:
- Para
(um pouco à esquerda de , por exemplo ) o numerador é negativo e o denominador é positivo (pois e então produto ), logo . - Para
(um pouco à direita de , por exemplo ) o numerador é negativo e o denominador é negativo (produto ), logo .
Esses comportamentos unilaterais divergentes confirmam assíntotas verticais em
e em
.
Passo 5
Resumo prático (truques de prova):
- Para o domínio: eliminar valores que anulam o denominador.
- Para assíntota horizontal: compare graus — se grau denom > grau num então
; se iguais, razão dos coeficientes líderes; se grau num > grau denom, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua). - Para assíntota vertical: zeros do denominador que não são cancelados pelo numerador; confirmar com limites unilaterais se quiser mostrar o sinal de divergência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)