(2.5 pontos) Considere a seguinte função f(x)=\frac{x}{x^{2}-9} :
(a) Dê o domínio de f.
(b) Encontre as assíntotas horizontais de f.
(c) Encontre as assíntotas verticais de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-9}
e pede três coisas:
  • (a) o domínio de f;
  • (b) as assíntotas horizontais de f;
  • (c) as assíntotas verticais de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{x}{x^{2}-9}.
  • Pontos onde o denominador é zero são potencialmente problemáticos (não pertencem ao domínio e podem gerar assíntotas verticais).

Passo 2

Encontrar o domínio: a única restrição é que o denominador não pode ser zero. Resolver
x^{2}-9=0.
Fatorando,
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
As raízes são x=3 e x=-3. Como o denominador se anula nesses pontos, esses valores devem ser excluídos do domínio. Não há cancelamento com o numerador (o numerador é x, que não anula nenhum dos fatores (x-3) ou (x+3) simultaneamente), então não há buracos removíveis, apenas exclusões.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os reais exceto -3 e 3, que em notação de intervalos fica
(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty).

Passo 3

Assíntotas horizontais: para verificar assíntotas horizontais com funções racionais, compare os graus (ordens) do polinômio do numerador e do denominador.
  • Grau do numerador = 1.
  • Grau do denominador = 2.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a função tende a zero quando x\to\pm\infty. Mostrando isso com limite:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^{2}-9} = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{9}{x^{2}}} =0,
porque \dfrac{1}{x}\to0 e \dfrac{9}{x^{2}}\to0 quando x\to\pm\infty.
Logo existe uma assíntota horizontal comum para as duas direções do infinito:
y=0.

Passo 4

Assíntotas verticais: normalmente aparecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero (ou seja, não há cancelamento). Já identificamos que x=\pm3 anulam o denominador e o numerador em x=3 vale 3\neq0 e em x=-3 vale -3\neq0. Portanto x=3 e x=-3 são candidatos a assíntotas verticais. Para confirmar, verifiquemos os limites laterais, analisando o sinal do quociente próximo a cada ponto.
Perto de x=3:
  • Para x\to3^{-} (um pouco à esquerda de 3) o numerador é positivo ( x\approx3>0) e o denominador x^{2}-9=(x-3)(x+3) é negativo (pois x-3<0 e x+3>0), então \dfrac{x}{x^{2}-9}\to -\infty.
  • Para x\to3^{+} (um pouco à direita de 3) o numerador é positivo e o denominador é positivo (pois x-3>0), então \dfrac{x}{x^{2}-9}\to +\infty.
Perto de x=-3:
  • Para x\to-3^{-} (um pouco à esquerda de -3, por exemplo x=-3{,}1) o numerador é negativo e o denominador é positivo (pois x-3<0 e x+3<0 então produto >0), logo \dfrac{x}{x^{2}-9}\to -\infty.
  • Para x\to-3^{+} (um pouco à direita de -3, por exemplo x=-2{,}9) o numerador é negativo e o denominador é negativo (produto <0), logo \dfrac{x}{x^{2}-9}\to +\infty.
Esses comportamentos unilaterais divergentes confirmam assíntotas verticais em x=3 e em x=-3.

Passo 5

Resumo prático (truques de prova):
  • Para o domínio: eliminar valores que anulam o denominador.
  • Para assíntota horizontal: compare graus — se grau denom > grau num então y=0; se iguais, y= razão dos coeficientes líderes; se grau num > grau denom, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
  • Para assíntota vertical: zeros do denominador que não são cancelados pelo numerador; confirmar com limites unilaterais se quiser mostrar o sinal de divergência.

Resposta

(a) (-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)
(b) y=0
(c) x=-3,\\ x=3

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