(2 pontos) Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
. - O limite deve ser tomado quando
tende para . - Sabe-se que
é uma função que satisfaz para todo .
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão, escrevendo-a de forma mais conveniente para estudar o limite. Para
vale
Observação: como estamos estudando
, para valores grandes de
temos
e portanto a divisão por
é permitida.
Passo 3
Agora a estratégia é mostrar que o segundo termo
tende a zero quando
. Se conseguirmos isso, então pelo resultado sobre somas de limites teremos
Mas falta justificar que
. Para isso usaremos a desigualdade conhecida para
e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Passo 4
Como
para todo
, dividindo por
(que ocorre para
suficientemente grande) obtemos a desigualdade
Passo 5
Mostramos que as funções de ambas as extremidades da desigualdade tendem a zero quando
. De fato,
Pelo Teorema do Confronto, de uma função que fica entre duas que têm o mesmo limite segue que a função intermediária tem o mesmo limite. Portanto
Passo 6
Usando o resultado do Passo 5 na expressão do Passo 2, temos
Se desejar uma prova em termos de
: dado
, escolha
. Para todo
tem-se
o que confirma rigorosamente o limite.
Resposta
1