(2 pontos) Prove que \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\cos (x)}{x}=1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\cos(x)}{x}=1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é \dfrac{x+\cos(x)}{x}.
  • O limite deve ser tomado quando x tende para +\infty.
  • Sabe-se que \cos(x) é uma função que satisfaz -1\le \cos(x)\le 1 para todo x.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão, escrevendo-a de forma mais conveniente para estudar o limite. Para x\neq 0 vale
\frac{x+\cos(x)}{x}=\frac{x}{x}+\frac{\cos(x)}{x}=1+\frac{\cos(x)}{x}.
Observação: como estamos estudando x\to+\infty, para valores grandes de x temos x>0 e portanto a divisão por x é permitida.

Passo 3

Agora a estratégia é mostrar que o segundo termo \dfrac{\cos(x)}{x} tende a zero quando x\to+\infty. Se conseguirmos isso, então pelo resultado sobre somas de limites teremos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\cos(x)}{x}\right)=1+\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x)}{x}=1+0=1.
Mas falta justificar que \dfrac{\cos(x)}{x}\to 0. Para isso usaremos a desigualdade conhecida para \cos(x) e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 4

Como -1\le \cos(x)\le 1 para todo x, dividindo por x>0 (que ocorre para x suficientemente grande) obtemos a desigualdade
-\frac{1}{x}\le \frac{\cos(x)}{x}\le \frac{1}{x}.

Passo 5

Mostramos que as funções de ambas as extremidades da desigualdade tendem a zero quando x\to+\infty. De fato,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0.
Pelo Teorema do Confronto, de uma função que fica entre duas que têm o mesmo limite segue que a função intermediária tem o mesmo limite. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x)}{x}=0.

Passo 6

Usando o resultado do Passo 5 na expressão do Passo 2, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\cos(x)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\cos(x)}{x}\right) =1+\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x)}{x} =1+0=1.
Se desejar uma prova em termos de \varepsilon: dado \varepsilon>0, escolha M>1/\varepsilon. Para todo x>M tem-se
\left|\frac{x+\cos(x)}{x}-1\right|=\left|\frac{\cos(x)}{x}\right|\le\frac{1}{x}<\varepsilon,
o que confirma rigorosamente o limite.

Resposta

1

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