(1,5 pontos) Considere a seguinte matriz A=(lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1). Calcule os autovalores e autoespaços correspondente de A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
e pede os autovalores e autoespaços. O conteúdo é álgebra linear, mais especificamente cálculo do polinômio característico para achar os autovalores e resolução de (A-lambda I)v=0 para obter cada autoespaço.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, usamos
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 0 0 & 1-lambda & 1 0 & 1 & 1-lambda
Como a primeira linha tem só um elemento não-nulo em posição ( 1,1), a expansão dá
det(A-lambda I)=(1-lambda)det 1-lambda & 1 1 & 1-lambda
O determinante 2times 2 é
(1-lambda)^2-1,
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det(A-lambda I)=(1-lambda)l((1-lambda)^2-1r) =(1-lambda)l((1-lambda)-1r)l((1-lambda)+1r)

Passo 3

Desenvolvendo os fatores:
(1-lambda)-1 = -lambda, (1-lambda)+1=2-lambda
Então o polinômio característico é
(1-lambda)(-lambda)(2-lambda) = -,lambda(1-lambda)(2-lambda)
Assim, os autovalores são as raízes lambda=0, lambda=1 e lambda=2.

Passo 4

Agora calculamos cada autoespaço resolvendo (A-lambda I)v=0.
Para lambda=2:
A-2I = -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1
Da primeira linha vem -x=0Rightarrow x=0. Das duas últimas linhas obtemos
-y+z=0 e y-z=0, ambas equivalentes a z=y.
Logo o autoespaço é
E2 = (0,y,y)mid yinR =span(0,1,1)

Passo 5

Para lambda=0:
A-0I = A
Das equações
x=0, y+z=0, y+z=0
vem x=0 e z=-y.
Logo
E0 = (0,y,-y)mid yinR =span(0,1,-1)

Passo 6

Para lambda=1:
A-I = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Da primeira linha não há restrição em x. Das outras vem z=0 e y=0.
Logo
E1 = (x,0,0)mid xinR =span(1,0,0)

Resposta

Autovalores e seus autoespaços:
lambda=2,
E2 = span(0,1,1) lambda=1,
E1 = span(1,0,0) lambda=0,
E0 = span(0,1,-1)

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