Seja N um inteiro positivo, com algarismo da unidade a1, com algarismo das decenas a2, com algarismo das centenas a3, ldots ou seja N=an an-1 cdots a3 a2 a1.
Consideremos A=a1-a2+a3-a4+a5-a6+cdots+(-1)^n-1 an. Mostre que
N equiv A (bmod 11)

Passo 1

O enunciado define um inteiro positivo N escrito em base decimal como
N = anan-1cdots a2a1
onde a1 é o algarismo das unidades, a2 o das dezenas, etc., e introduz a soma alternada dos dígitos
A = a1 - a2 + a3 - a4 + cdots + (-1)^,n-1an
Queremos mostrar que
N equiv A pmod11
Para isso, vamos usar propriedades de congruência e o fato de que 10equiv -1pmod11.

Passo 2

Escrevemos N em sua forma desenvolvida em potências de 10:
N ;=; a1cdot 10^0 ;+; a2cdot 10^1 ;+; a3cdot 10^2 ;+;cdots+;ancdot 10^n-1

Passo 3

Como 10 equiv -1pmod11, elevando ambos os lados à potência k-1 obtemos
10^,k-1 equiv (-1)^,k-1 pmod11 para k=1,2,dots,n

Passo 4

Aplicando essa congruência termo a termo na soma de N, temos
N equiv sumk=1^n ak,10^,k-1 equiv sumk=1^n ak(-1)^,k-1 ;=; a1-a2+a3-a4+cdots+(-1)^,n-1an ;=;A pmod11

Resposta

N equiv A pmod11

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