(1,5 pontos) Considere o seguinte espaço vetorial
Encontre uma transformação linear invertível entre
e
.
Passo 1
O enunciado define
que é um subespaço de dimensão 3 de
. O problema pede uma transformação linear inversível (isomorfismo) entre
e
. Para isso, vamos usar o fato de que a condição
remove um grau de liberdade, ficando três parâmetros livres.
Passo 2
Da equação
podemos isolar, por exemplo,
Logo, todo polinômio em
pode ser escrito como
Passo 3
Reescrevendo
vemos imediatamente que
é uma base de
. Cada polinômio em
corresponde unicamente a um triplo
.
Passo 4
Definimos a transformação linear
Essa aplicação é claramente linear em
. Para ver que é inversível, basta notar que dado
temos
e, portanto,
Isso mostra que
é bijetora e linear, logo um isomorfismo.
Resposta
A transformação
é linear e inversível, com inversa
onde
.