(1,5 pontos) Considere o seguinte espaço vetorial
V:=p(x)=a+b x+c x^2+d x^3 / a, b, c, d in R e a+b+c+d=0
Encontre uma transformação linear invertível entre V e R^3.

Passo 1

O enunciado define
V = lp(x)=a + b x + c x^2 + d x^3 mid a,b,c,dinR,;a+b+c+d=0r,
que é um subespaço de dimensão 3 de P3(R). O problema pede uma transformação linear inversível (isomorfismo) entre V e R^3. Para isso, vamos usar o fato de que a condição a+b+c+d=0 remove um grau de liberdade, ficando três parâmetros livres.

Passo 2

Da equação
a + b + c + d = 0
podemos isolar, por exemplo,
d = -,l(a + b + cr)
Logo, todo polinômio em V pode ser escrito como
p(x) = a + b,x + c,x^2 -l(a+b+cr),x^3

Passo 3

Reescrevendo
p(x) = a,(1 - x^3) ;+; b,(x - x^3);+; c,(x^2 - x^3),
vemos imediatamente que
l,1 - x^3,;x - x^3,;x^2 - x^3r
é uma base de V. Cada polinômio em V corresponde unicamente a um triplo (a,b,c)inR^3.

Passo 4

Definimos a transformação linear
phi:R^3;longrightarrow;V, phil(a,b,cr) = a,(1 - x^3) + b,(x - x^3) + c,(x^2 - x^3)
Essa aplicação é claramente linear em (a,b,c). Para ver que é inversível, basta notar que dado
p(x)=a + b x + c x^2 + d x^3in V,
temos d=- (a+b+c) e, portanto,
phi^-1l(p(x)r) = (a,b,c)
Isso mostra que phi é bijetora e linear, logo um isomorfismo.

Resposta

A transformação
phi:R^3to V, phi(a,b,c)=a,(1 - x^3)+b,(x - x^3)+c,(x^2 - x^3)
é linear e inversível, com inversa
phi^-1l(a + b x + c x^2 + d x^3r) = (a,b,c),
onde d=-(a+b+c).

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