Considere a seguinte equação x^prime=f(x), em que f: R^3 R^3 é dada por f(x)=A x, em que
A=(ccc -1 & 1 & 0 -1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 )
(2 pontos) a) A origem é um singularidade estável? Ela é assintoticamente estável? Ela é uma singularidade isolada?
(1 ponto) b) Verifique se o campo acima é uma campo gradiente. Se for, ache U: R^3 R tal que f(x)=-nabla U(x). Se não for, justifique por que uma tal função U não existe.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear
x' = f(x), f(x)=Ax,
em R^3, onde
A = -1 & 1 & 0 -1 & -1 & 0 0 & 0 & 0
Em (a) precisamos analisar a natureza da origem como ponto de equilíbrio: estabilidade de Lyapunov, estabilidade assintótica e se é isolada. Em (b) precisamos testar se f é um campo gradiente, ou seja, se existe U com f(x)=-nabla U(x).

Passo 2

Para estudar estabilidade, primeiro achamos os autovalores de A. A parte no plano (x1,x2) é dada pelo bloco
-1 & 1 -1 & -1, cujos autovalores são
lambda1,2 = -1 pm i,
e há um autovalor
lambda3 = 0
associado `a direc\c{c}~ao x3. O conjunto de equil’ibrios `e o n’ucleo de A, i.e.\
ker A = (0,0,x3)colon x3 in R,
logo a origem n~ao `e o 'unico ponto de equil’ibrio (h’a toda a reta x1 = x2 = 0).

Passo 3

Como os autovalores têm parte real Re(lambda1,2)=-1<0 e lambda3=0 é semiplano sem repetição, o sistema é estável de Lyapunov (pequenas perturbações em x1,x2 não crescem), mas não é assintoticamente estável porque a componente x3 não decai (permanece constante). Além disso, a origem não é isolada pois há outros equilíbrios na reta x1=x2=0.

Passo 4

Para verificar se f é gradiente, escrevemos
;f(x) = (f1,f2,f3) com
f1=-x1+x2, f2=-x1-x2, f3=0
Um campo gradiente deve satisfazer partial fi/partial xj = partial fj/partial xi. Mas
partial f1partial x2 = 1, partial f2partial x1 = -1,
e 1neq -1. Logo f não é conservativo e não existe U tal que f=-nabla U.

Resposta

(a) A origem é estável (de Lyapunov), não é assintoticamente estável e não é uma singularidade isolada.
(b) O campo não é gradiente, pois partial f1/partial x2neqpartial f2/partial x1; portanto, não existe potencial U.

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