(2,5 pontos) Seja D o operador diferencial, isto é, D(f)=d fd t. Encontre a matriz do operador D em relação à seguinte base: 1, t, sen 3 t, cos 3 t. Note que f: R R.

Passo 1

O enunciado define o operador linear D em funções por
D(f)=dfdt
e pede a matriz de D na base
,1,;t,;sin 3t,;cos 3t
Para montar essa matriz, basta calcular D em cada vetor da base e expressar o resultado como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Calcular D(1). Como a derivada de uma constante é zero,
D(1)=0
Em coordenadas na base 1,t,sin3t,cos3t isso corresponde ao vetor coluna
0000

Passo 3

Calcular D(t). Temos
D(t)=1
Escrevendo em função da base, 1=1cdot1+0cdot t+0cdotsin3t+0cdotcos3t, logo o vetor coluna é
1000

Passo 4

Calcular D(sin3t). Pela regra da cadeia,
D(sin3t)=3cos3t
Em função da base isso é
0cdot1+0cdot t+0cdotsin3t+3cdotcos3t,
logo o vetor coluna é
0003

Passo 5

Calcular D(cos3t). Ainda pela cadeia,
D(cos3t)=-3sin3t
Em termos da base:
0cdot1+0cdot t-3cdotsin3t+0cdotcos3t,
logo o vetor coluna é
00-30

Passo 6

Agora montamos a matriz de D cujas colunas são os vetores de coordenadas de D aplicado a cada base, na ordem 1,t,sin3t,cos3t. Assim obtemos
0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 3 & 0

Resposta

boxed 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 3 & 0

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