(2,5 pontos) Seja
o operador diferencial, isto é,
. Encontre a matriz do operador
em relação à seguinte base:
. Note que
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
em funções por
e pede a matriz de
na base
Para montar essa matriz, basta calcular
em cada vetor da base e expressar o resultado como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Calcular
. Como a derivada de uma constante é zero,
Em coordenadas na base
isso corresponde ao vetor coluna
Passo 3
Calcular
D(t) . Temos
Escrevendo em função da base,
1=1cdot1+0cdot t+0cdotsin3t+0cdotcos3t , logo o vetor coluna é
Passo 4
Calcular
D(sin3t) . Pela regra da cadeia,
Em função da base isso é
logo o vetor coluna é
Passo 5
Calcular
D(cos3t) . Ainda pela cadeia,
Em termos da base:
logo o vetor coluna é
Passo 6
Agora montamos a matriz de
D cujas colunas são os vetores de coordenadas de
D aplicado a cada base, na ordem
1,t,sin3t,cos3t . Assim obtemos