Considere tres bases de espaço vetoiral V: B=\{(1,0),(0,1)\}, C=\{(0,1),(1,0)\} e D=\{(1,-1),(2,1)\}.
Achar matrizes de mudança de bases (i) de B para C; (ii) de C para D; (iii) de B para $D.
O que é pedido:
(i) achar a matriz de mudança de base de B para C;
(ii) achar a matriz de mudança de base de C para D;
(iii) achar a matriz de mudança de base de B para D.
Informações relevantes dadas:
Os vetores que formam cada base estão explícitos (pegar estes vetores do enunciado).
Não há imagens ou dados ocultos: todas as bases estão dadas em coordenadas padrão.
Passo 2
Conceito e convenção que vou usar (muito importante para não confundir na prova):
A "matriz de mudança de base de X para Y" será a matriz que toma as coordenadas de um vetor escritas na base X e dá as coordenadas do mesmo vetor na base Y.
Em termos práticos: se [v]_X é o vetor de coordenadas de v na base X e M_{Y\leftarrow X} é a matriz de mudança de X para Y, então
[v]_Y = M_{Y\leftarrow X}\,[v]_X.
Como regra rápida para construir M_{Y\leftarrow X}: escreve cada vetor da base X como combinação linear dos vetores da base Y; os coeficientes (na ordem dos vetores de Y) formam as colunas de M_{Y\leftarrow X}.
Vou aplicar exatamente isso passo a passo. Se preferir, pense em colunas da matriz como "as coordenadas, em Y, dos vetores que formam X".
Passo 3
(i) Matriz de mudança de B para C.
Vamos aplicar a regra: escrever cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C. Os vetores de B são b_1=(1,0) e b_2=(0,1). Os vetores de C são c_1=(0,1) e c_2=(1,0) (a ordem importa).
Para b_1=(1,0) procuramos escalares a_1,a_2 tais que
a_1 c_1 + a_2 c_2 = (1,0).
Escrevendo componentes:
a_1(0,1) + a_2(1,0) = (a_2, a_1) = (1,0).
Igualando componentes obtemos a_2=1 e a_1=0. Logo as coordenadas de b_1 na base C são \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para b_2=(0,1) procuramos b_1',b_2' tais que
b_1' c_1 + b_2' c_2 = (0,1).
Isso dá
(b_2', b_1')=(0,1)\Rightarrow b_2'=0,\; b_1'=1.
Logo as coordenadas de b_2 na base C são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
As colunas da matriz M_{C\leftarrow B} são exatamente essas coordenadas, na ordem dos vetores de B. Portanto
Uma verificação simples: multiplicando M_{D\leftarrow C} pelos vetores de coordenadas de c_1 e c_2 em C (que são respectivamente \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}) obtém-se as colunas já calculadas; isso confirma a consistência.
Intuitivamente: as colunas dizem "quanto de d_1 e quanto de d_2" é preciso para recompor cada vetor de C.
Passo 6
(iii) Matriz de mudança de B para D.
Duas maneiras equivalentes: (a) repetir o processo escrevendo os vetores de B em termos de D diretamente; (b) compor as duas matrizes já obtidas, já que coordenadas vão mudando por multiplicação de matrizes. Vou usar a composição (é rápido e útil na prova):
Seja M_{C\leftarrow B} a matriz de B para C (já encontrada) e M_{D\leftarrow C} a de C para D. Então
Observação: isso confirma também a conta direta, porque os vetores de B são precisamente e_1=(1,0)=c_2 e e_2=(0,1)=c_1; já tínhamos as coordenadas de c_2 e c_1 em D e elas aparecem aqui como colunas (na ordem de B).]
Passo 7
Pequena checagem final (para sua segurança na prova):
Aplicando M_{C\leftarrow B} a [x;y] troca as coordenadas, como esperado.
Aplicando M_{D\leftarrow C} às colunas canônicas de C recupera os coeficientes encontrados.
A composição M_{D\leftarrow C}M_{C\leftarrow B} dá a matriz de B para D que calculamos.