( 2,5 pontos)
Considere tres bases de espaço vetoiral V: B=\{(1,0),(0,1)\}, C=\{(0,1),(1,0)\} e D=\{(1,-1),(2,1)\}.
Achar matrizes de mudança de bases (i) de B para C; (ii) de C para D; (iii) de B para $D.

Passo 1

O enunciado dá três bases do espaço vetorial V:
B=\{(1,0),(0,1)\},\qquad C=\{(0,1),(1,0)\},\qquad D=\{(1,-1),(2,1)\}.
O que é pedido:
(i) achar a matriz de mudança de base de B para C;
(ii) achar a matriz de mudança de base de C para D;
(iii) achar a matriz de mudança de base de B para D.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores que formam cada base estão explícitos (pegar estes vetores do enunciado).
  • Não há imagens ou dados ocultos: todas as bases estão dadas em coordenadas padrão.

Passo 2

Conceito e convenção que vou usar (muito importante para não confundir na prova):
  • A "matriz de mudança de base de X para Y" será a matriz que toma as coordenadas de um vetor escritas na base X e dá as coordenadas do mesmo vetor na base Y.
  • Em termos práticos: se [v]_X é o vetor de coordenadas de v na base X e M_{Y\leftarrow X} é a matriz de mudança de X para Y, então
[v]_Y = M_{Y\leftarrow X}\,[v]_X.
  • Como regra rápida para construir M_{Y\leftarrow X}: escreve cada vetor da base X como combinação linear dos vetores da base Y; os coeficientes (na ordem dos vetores de Y) formam as colunas de M_{Y\leftarrow X}.
Vou aplicar exatamente isso passo a passo. Se preferir, pense em colunas da matriz como "as coordenadas, em Y, dos vetores que formam X".

Passo 3

(i) Matriz de mudança de B para C.
Vamos aplicar a regra: escrever cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C. Os vetores de B são b_1=(1,0) e b_2=(0,1). Os vetores de C são c_1=(0,1) e c_2=(1,0) (a ordem importa).
  • Para b_1=(1,0) procuramos escalares a_1,a_2 tais que
a_1 c_1 + a_2 c_2 = (1,0).
Escrevendo componentes:
a_1(0,1) + a_2(1,0) = (a_2, a_1) = (1,0).
Igualando componentes obtemos a_2=1 e a_1=0. Logo as coordenadas de b_1 na base C são \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Para b_2=(0,1) procuramos b_1',b_2' tais que
b_1' c_1 + b_2' c_2 = (0,1).
Isso dá
(b_2', b_1')=(0,1)\Rightarrow b_2'=0,\; b_1'=1.
Logo as coordenadas de b_2 na base C são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
As colunas da matriz M_{C\leftarrow B} são exatamente essas coordenadas, na ordem dos vetores de B. Portanto
M_{C\leftarrow B}= \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Interpretação fácil: trocar as coordenadas (é a matriz de permutação).]

Passo 4

(ii) Matriz de mudança de C para D.
Aplicando a mesma regra: escrevemos cada vetor da base C como combinação linear dos vetores da base D. Os vetores:
c_1=(0,1),\quad c_2=(1,0);\qquad d_1=(1,-1),\quad d_2=(2,1).
Para cada c_j achamos coeficientes \alpha,\beta tais que \alpha d_1+\beta d_2=c_j. Vou resolver os dois sistemas com eliminação, passo a passo.
  • Para c_1=(0,1): resolver
\alpha(1,-1)+\beta(2,1)=(0,1).
Em componentes:
\alpha+2\beta=0,
-\alpha+\beta=1.
Da primeira equação \alpha=-2\beta. Substituindo na segunda:
-(-2\beta)+\beta=1 \quad\Rightarrow\quad 2\beta+\beta=1 \quad\Rightarrow\quad 3\beta=1.
Logo \beta=\tfrac{1}{3} e \alpha=-2\beta=-\tfrac{2}{3}. Assim as coordenadas de c_1 na base D são
\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
  • Para c_2=(1,0): resolver
\alpha(1,-1)+\beta(2,1)=(1,0).
Em componentes:
\alpha+2\beta=1,
-\alpha+\beta=0.
Da segunda \alpha=\beta. Substituindo na primeira:
\beta+2\beta=1 \quad\Rightarrow\quad 3\beta=1 \quad\Rightarrow\quad \beta=\tfrac{1}{3},\; \alpha=\tfrac{1}{3}.
Logo as coordenadas de c_2 em D são \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
As colunas de M_{D\leftarrow C} são essas coordenadas (na ordem dos vetores de C):
M_{D\leftarrow C}= \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

(Explicação rápida de verificação e intuição)
  • Uma verificação simples: multiplicando M_{D\leftarrow C} pelos vetores de coordenadas de c_1 e c_2 em C (que são respectivamente \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}) obtém-se as colunas já calculadas; isso confirma a consistência.
  • Intuitivamente: as colunas dizem "quanto de d_1 e quanto de d_2" é preciso para recompor cada vetor de C.

Passo 6

(iii) Matriz de mudança de B para D.
Duas maneiras equivalentes: (a) repetir o processo escrevendo os vetores de B em termos de D diretamente; (b) compor as duas matrizes já obtidas, já que coordenadas vão mudando por multiplicação de matrizes. Vou usar a composição (é rápido e útil na prova):
Seja M_{C\leftarrow B} a matriz de B para C (já encontrada) e M_{D\leftarrow C} a de C para D. Então
M_{D\leftarrow B}=M_{D\leftarrow C}\,M_{C\leftarrow B}.
Substituindo:
M_{C\leftarrow B}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\qquad M_{D\leftarrow C}=\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}&\tfrac{1}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3}&\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Multiplicando passo a passo (escrevendo cada entrada):
M_{D\leftarrow B}= \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Cálculo das colunas (produto por colunas da segunda matriz):
  • Primeira coluna de M_{D\leftarrow B} é o produto da primeira matriz pelo vetor \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3}\cdot 0 + \tfrac{1}{3}\cdot 1\\[6pt] \tfrac{1}{3}\cdot 0 + \tfrac{1}{3}\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna é o produto pelo vetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3}\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 0\\[6pt] \tfrac{1}{3}\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Portanto
M_{D\leftarrow B}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Observação: isso confirma também a conta direta, porque os vetores de B são precisamente e_1=(1,0)=c_2 e e_2=(0,1)=c_1; já tínhamos as coordenadas de c_2 e c_1 em D e elas aparecem aqui como colunas (na ordem de B).]

Passo 7

Pequena checagem final (para sua segurança na prova):
  • Aplicando M_{C\leftarrow B} a [x;y] troca as coordenadas, como esperado.
  • Aplicando M_{D\leftarrow C} às colunas canônicas de C recupera os coeficientes encontrados.
  • A composição M_{D\leftarrow C}M_{C\leftarrow B} dá a matriz de B para D que calculamos.

Resposta

\text{(i) }M_{C\leftarrow B}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}
\text{(ii) }M_{D\leftarrow C}=\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}&\tfrac{1}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3}&\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}
\text{(iii) }M_{D\leftarrow B}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}&-\tfrac{2}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3}&\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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