(2,5 pontos)
Resolver o sistema por escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3 z=0 \\\ x-y+z=-1 \\\\ -2 x-y+z=1 \end{array}\right.
O sistema pode ser resolvido por método de Kramer? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Resolver o sistema por escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+2y-3z=0,\\[4pt] x-y+z=-1,\\[4pt] -2x-y+z=1 \end{array}\right.
  • Responder se o sistema pode ser resolvido pelo método de Cramer e justificar.
Informações que temos: os três coeficientes das incógnitas nas três equações (ou seja, a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente estão completamente determinados pelo sistema acima). Vou resolver pelo método de escalonamento (eliminação de Gauss) e depois verificar o determinante da matriz dos coeficientes para responder sobre Cramer.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema (linha por linha, onde a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Explicação rápida do que se faz: escalonamento consiste em usar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar ≠0) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior, de onde a solução é obtida por retro-substituição.]

Passo 3

Eliminar abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha). Usar as operações:
R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+2R_1.
Aplicando:
R_2: \\ (1,-1,1|-1)-(1,2,-3|0)=(0,-3,4|-1),
R_3: \\ (-2,-1,1|1)+2(1,2,-3|0)=(0,3,-5|1).
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -5 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar abaixo do segundo pivô (elemento na posição (2,2)). Observando que R_3 tem 3 na segunda coluna, fazemos:
R_3\leftarrow R_3+R_2.
Calculando:
R_3: \\ (0,3,-5|1)+(0,-3,4|-1)=(0,0,-1|0).
Agora a matriz aumentada está escalonada (triangular superior):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Fazer retro-substituição para obter as incógnitas.
Da terceira linha (equação correspondente):
-1\cdot z = 0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Da segunda linha:
-3\cdot y + 4\cdot z = -1.
Substituindo z=0:
-3y = -1 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}.
Da primeira linha:
x + 2y -3z = 0.
Substituindo y=\dfrac{1}{3} e z=0:
x + 2\cdot\dfrac{1}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x + \dfrac{2}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{2}{3}.
Portanto a solução encontrada é \bigl(x,y,z\bigr)=\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0\right).

Passo 6

Checagem rápida (substituir na segunda equação, por exemplo):
x-y+z = -\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}+0 = -1,
coincide com o termo independente. Isso dá confiança de que os cálculos estão corretos.

Passo 7

Agora a questão do método de Cramer. Regra de Cramer é aplicável quando a matriz dos coeficientes A tem determinante diferente de zero; nesse caso o sistema tem solução única e cada incógnita pode ser calculada por
x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é a matriz A com a i-ésima coluna substituída pelo vetor dos termos independentes.
Calcular \det(A) da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Usando desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
Calculemos os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot(-1)=0,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot(-2)=3,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-(-1)\cdot(-2)=-1-2=-3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 0 -2\cdot 3 +(-3)\cdot(-3)=0-6+9=3.
Como \det(A)=3\neq 0, o sistema tem solução única e o método de Cramer pode ser aplicado. (Não é necessário calcular as determinantes \det(A_i) porque já temos a solução pelo escalonamento, mas a aplicabilidade de Cramer está garantida pela condição \det(A)\neq0.)]

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0\right)
Sim. O método de Cramer pode ser aplicado porque \det(A)=3\neq0.

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