Responder se o sistema pode ser resolvido pelo método de Cramer e justificar.
Informações que temos: os três coeficientes das incógnitas nas três equações (ou seja, a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente estão completamente determinados pelo sistema acima). Vou resolver pelo método de escalonamento (eliminação de Gauss) e depois verificar o determinante da matriz dos coeficientes para responder sobre Cramer.]
Passo 2
Montar a matriz aumentada do sistema (linha por linha, onde a última coluna é o termo independente):
Explicação rápida do que se faz: escalonamento consiste em usar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar ≠0) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior, de onde a solução é obtida por retro-substituição.]
Passo 3
Eliminar abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha). Usar as operações:
Fazer retro-substituição para obter as incógnitas.
Da terceira linha (equação correspondente):
-1\cdot z = 0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Da segunda linha:
-3\cdot y + 4\cdot z = -1.
Substituindo z=0:
-3y = -1 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}.
Da primeira linha:
x + 2y -3z = 0.
Substituindo y=\dfrac{1}{3} e z=0:
x + 2\cdot\dfrac{1}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x + \dfrac{2}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{2}{3}.
Portanto a solução encontrada é \bigl(x,y,z\bigr)=\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0\right).
Passo 6
Checagem rápida (substituir na segunda equação, por exemplo):
x-y+z = -\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}+0 = -1,
coincide com o termo independente. Isso dá confiança de que os cálculos estão corretos.
Passo 7
Agora a questão do método de Cramer. Regra de Cramer é aplicável quando a matriz dos coeficientes A tem determinante diferente de zero; nesse caso o sistema tem solução única e cada incógnita pode ser calculada por
x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é a matriz A com a i-ésima coluna substituída pelo vetor dos termos independentes.
Como \det(A)=3\neq 0, o sistema tem solução única e o método de Cramer pode ser aplicado. (Não é necessário calcular as determinantes \det(A_i) porque já temos a solução pelo escalonamento, mas a aplicabilidade de Cramer está garantida pela condição \det(A)\neq0.)]
Resposta
\displaystyle (x,y,z)=\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0\right)
Sim. O método de Cramer pode ser aplicado porque \det(A)=3\neq0.