quando representados pelos vetores de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}). Para ver se são independentes, considere a combinação linear nula
s\,p_{1}+t\,p_{2}=0.
Em coordenadas:
(t,\; s+t,\; 2s+t)=(0,0,0).
Da primeira coordenada vem t=0; então s+0=0\Rightarrow s=0. Só existe solução trivial, logo p_{1} e p_{2} são linearmente independentes e formam uma base de U_{2}. Conclusão:
\dim U_{2}=2.
Passo 4
Agora achar [U_{1}\cap U_{2}). Escrevo um elemento genérico de cada subespaço e igualo:
Elemento genérico de U_{1}: a_{0}+a_{1}t+a_{1}t^{2}, ou em vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{1}).
Elemento genérico de U_{2}: s(2t^{2}+t)+r(t^{2}+t+1). Em coeficientes:
Com s=0\] vem \(a_{1}=r e a_{0}=r, portanto a_{0}=a_{1}=r. Assim qualquer polinômio em U_{1}\cap U_{2} tem a forma
r\cdot(1+t+t^{2}),
com r\in\mathbb{R}. Ou seja,
U_{1}\cap U_{2}=\langle 1+t+t^{2}\rangle.
Isso mostra que U_{1}\cap U_{2} é um subespaço unidimensional. Conclusão:
\dim(U_{1}\cap U_{2})=1.
Observação concreta e intuitiva: t^{2}+t+1 é exatamente o gerador p_{2} de U_{2}, e tomando em U_{1} os coeficientes a_{0}=a_{1}=1 obtém-se o mesmo polinômio, então 1+t+t^{2} pertence a ambos — isso confirma o cálculo.]
Passo 5
Determinar U_{1}+U_{2}. Usa-se a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
O espaço ambiente aqui é o espaço dos polinômios de grau ≤2, que tem dimensão 3. Portanto um subespaço de dimensão 3 desse espaço é o próprio espaço inteiro. Conclusão:
U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2} \quad\text{(espaço de todos os polinômios de grau \(\le 2\))}.çô
Uma verificação prática rápida: t+t^{2}\in U_{1} e t^{2}+t+1\in U_{2}. Então
1=(t^{2}+t+1)-(t+t^{2})
é combinação de um elemento de U_{2} e um de U_{1}, logo 1\in U_{1}+U_{2}. Com 1 e os outros geradores já dá para montar t e t^{2}, confirmando que gera todo \mathcal{P}_{2}.