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Sejam U_{1}=\left\{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \mid a_{2}-a_{1}=0\right\}, U_{2}=\left\langle 2 t^{2}+t, t^{2}+t+1\right\rangle.
Descrever U_{1} \cap U_{2} e U_{1}+U_{2}.
Achar dimensões \operatorname{dim} U_{1}, \operatorname{dim} U_{2}, \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right) e \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • U_{1}=\left\{a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\mid a_{2}-a_{1}=0\right\}.
    • U_{2}=\langle 2t^{2}+t,\; t^{2}+t+1\rangle (o subespaço gerado pelos dois polinômios indicados).
  • O que se pede:
    • Descrever U_{1}\cap U_{2}.
    • Descrever U_{1}+U_{2}.
    • Encontrar \dim U_{1}, \dim U_{2}, \dim(U_{1}\cap U_{2}) e \dim(U_{1}+U_{2}).

Passo 2

Entender bem U_{1}. A condição a_{2}-a_{1}=0 significa que
a_{2}=a_{1}.
Logo um elemento genérico de U_{1} tem a forma
a_{0}+a_{1}t+a_{1}t^{2}=a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot (t+t^{2}).
Isto mostra que todo polinômio de U_{1} é combinação linear de 1 e de t+t^{2}. Vamos verificar que 1 e t+t^{2} são linearmente independentes: se
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot (t+t^{2}) \equiv 0,
então comparando coeficientes obtemos \alpha=0 e \beta=0. Portanto \{1,\;t+t^{2}\} é uma base de U_{1}. Conclusão:
\dim U_{1}=2.

Passo 3

Analisar U_{2}. Denote os geradores
p_{1}=2t^{2}+t=(0,1,2),\qquad p_{2}=t^{2}+t+1=(1,1,1)
quando representados pelos vetores de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}). Para ver se são independentes, considere a combinação linear nula
s\,p_{1}+t\,p_{2}=0.
Em coordenadas:
(t,\; s+t,\; 2s+t)=(0,0,0).
Da primeira coordenada vem t=0; então s+0=0\Rightarrow s=0. Só existe solução trivial, logo p_{1} e p_{2} são linearmente independentes e formam uma base de U_{2}. Conclusão:
\dim U_{2}=2.

Passo 4

Agora achar [U_{1}\cap U_{2}). Escrevo um elemento genérico de cada subespaço e igualo:
  • Elemento genérico de U_{1}: a_{0}+a_{1}t+a_{1}t^{2}, ou em vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{1}).
  • Elemento genérico de U_{2}: s(2t^{2}+t)+r(t^{2}+t+1). Em coeficientes:
(r,\; s+r,\; 2s+r).
Igualando as coordenadas temos o sistema
\begin{cases} a_{0}=r,\\[4pt] a_{1}=s+r,\\[4pt] a_{1}=2s+r. \end{cases}
Subtraindo a segunda da terceira equação:
(s+r)-(2s+r)=0 \Rightarrow -s=0 \Rightarrow s=0.
Com s=0\] vem \(a_{1}=r e a_{0}=r, portanto a_{0}=a_{1}=r. Assim qualquer polinômio em U_{1}\cap U_{2} tem a forma
r\cdot(1+t+t^{2}),
com r\in\mathbb{R}. Ou seja,
U_{1}\cap U_{2}=\langle 1+t+t^{2}\rangle.
Isso mostra que U_{1}\cap U_{2} é um subespaço unidimensional. Conclusão:
\dim(U_{1}\cap U_{2})=1.
Observação concreta e intuitiva: t^{2}+t+1 é exatamente o gerador p_{2} de U_{2}, e tomando em U_{1} os coeficientes a_{0}=a_{1}=1 obtém-se o mesmo polinômio, então 1+t+t^{2} pertence a ambos — isso confirma o cálculo.]

Passo 5

Determinar U_{1}+U_{2}. Usa-se a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}).
Substituindo os valores encontrados:
\dim(U_{1}+U_{2})=2+2-1=3.
O espaço ambiente aqui é o espaço dos polinômios de grau ≤2, que tem dimensão 3. Portanto um subespaço de dimensão 3 desse espaço é o próprio espaço inteiro. Conclusão:
U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2} \quad\text{(espaço de todos os polinômios de grau \(\le 2\))}.çô
Uma verificação prática rápida: t+t^{2}\in U_{1} e t^{2}+t+1\in U_{2}. Então
1=(t^{2}+t+1)-(t+t^{2})
é combinação de um elemento de U_{2} e um de U_{1}, logo 1\in U_{1}+U_{2}. Com 1 e os outros geradores já dá para montar t e t^{2}, confirmando que gera todo \mathcal{P}_{2}.

Resposta

U_{1}\cap U_{2}=\langle 1+t+t^{2}\rangle
U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2}
\dim U_{1}=2
\dim U_{2}=2
\dim(U_{1}\cap U_{2})=1
\dim(U_{1}+U_{2})=3

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